Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyaddisj Unicode version

 Description: Two closed dyadic rational intervals are either in a subset relationship or are almost disjoint (the interiors are disjoint). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dyadmbl.1 . . . . 5
21dyadf 18946 . . . 4
3 ffn 5389 . . . 4
4 ovelrn 5996 . . . . 5
5 ovelrn 5996 . . . . 5
64, 5anbi12d 691 . . . 4
72, 3, 6mp2b 9 . . 3
8 reeanv 2707 . . 3
97, 8bitr4i 243 . 2
10 reeanv 2707 . . . 4
11 nn0re 9974 . . . . . . . 8
1211ad2antrl 708 . . . . . . 7
13 nn0re 9974 . . . . . . . 8
1413ad2antll 709 . . . . . . 7
151dyaddisjlem 18950 . . . . . . 7
16 ancom 437 . . . . . . . . . 10
17 ancom 437 . . . . . . . . . 10
1816, 17anbi12i 678 . . . . . . . . 9
191dyaddisjlem 18950 . . . . . . . . 9
2018, 19sylanb 458 . . . . . . . 8
21 orcom 376 . . . . . . . . . 10
22 incom 3361 . . . . . . . . . . 11
2322eqeq1i 2290 . . . . . . . . . 10
2421, 23orbi12i 507 . . . . . . . . 9
25 df-3or 935 . . . . . . . . 9
26 df-3or 935 . . . . . . . . 9
2724, 25, 263bitr4i 268 . . . . . . . 8
2820, 27sylib 188 . . . . . . 7
2912, 14, 15, 28lecasei 8926 . . . . . 6
30 simpl 443 . . . . . . . . 9
3130fveq2d 5529 . . . . . . . 8
32 simpr 447 . . . . . . . . 9
3332fveq2d 5529 . . . . . . . 8
3431, 33sseq12d 3207 . . . . . . 7
3533, 31sseq12d 3207 . . . . . . 7
3630fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
3732fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
3836, 37ineq12d 3371 . . . . . . . 8
3938eqeq1d 2291 . . . . . . 7
4034, 35, 393orbi123d 1251 . . . . . 6
4129, 40syl5ibrcom 213 . . . . 5
4241rexlimdvva 2674 . . . 4
4310, 42syl5bir 209 . . 3
4443rexlimivv 2672 . 2
459, 44sylbi 187 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3o 933   wceq 1623   wcel 1684  wrex 2544   cin 3151   wss 3152  c0 3455  cop 3643   class class class wbr 4023   cxp 4687   crn 4690   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  cr 8736  c1 8738   caddc 8740   cle 8868   cdiv 9423  c2 9795  cn0 9965  cz 10024  cioo 10656  cicc 10659  cexp 11104 This theorem is referenced by:  dyadmbl  18955 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105
 Copyright terms: Public domain W3C validator