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Theorem e2ebindVD 28366
Description: The following User's Proof is a Virtual Deduction proof (see: wvd1 28002) completed automatically by a Metamath tools program invoking mmj2 and the Metamath Proof Assistant. e2ebind 27994 is e2ebindVD 28366 without virtual deductions and was automatically derived from e2ebindVD 28366
1::  |-  ( ph  <->  ph )
2:1:  |-  ( A. y y  =  x  ->  ( ph  <->  ph ) )
3:2:  |-  ( A. y y  =  x  ->  ( E. y ph  <->  E. x ph  ) )
4::  |-  (. A. y y  =  x  ->.  A. y y  =  x ).
5:3,4:  |-  (. A. y y  =  x  ->.  ( E. y ph  <->  E. x  ph ) ).
6::  |-  ( A. y y  =  x  ->  A. y A. y y  =  x )
7:5,6:  |-  (. A. y y  =  x  ->.  A. y ( E. y ph  <->  E. x ph ) ).
8:7:  |-  (. A. y y  =  x  ->.  ( E. y E. y ph  <->  E. y E. x ph ) ).
9::  |-  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )
10:8,9:  |-  (. A. y y  =  x  ->.  ( E. y E. y ph  <->  E. x E. y ph ) ).
11::  |-  ( E. y ph  ->  A. y E. y ph )
12:11:  |-  ( E. y E. y ph  <->  E. y ph )
13:10,12:  |-  (. A. y y  =  x  ->.  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph ) ).
14:13:  |-  ( A. y y  =  x  ->  ( E. x E. y ph  <->  E.  y ph ) )
15::  |-  ( A. y y  =  x  <->  A. x x  =  y )
qed:14,15:  |-  ( A. x x  =  y  ->  ( E. x E. y ph  <->  E.  y ph ) )
(Contributed by Alan Sare, 27-Nov-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
e2ebindVD  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
)

Proof of Theorem e2ebindVD
StepHypRef Expression
1 ax10 1984 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  y  =  x )
2 hba1 1794 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. y A. y 
y  =  x )
3 idn1 28007 . . . . . . . 8  |-  (. A. y  y  =  x  ->.  A. y  y  =  x ).
4 biid 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  <->  ph )
54a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ph  <->  ph ) )
65drex1 2008 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ph  <->  E. x ph ) )
73, 6e1_ 28070 . . . . . . 7  |-  (. A. y  y  =  x  ->.  ( E. y ph  <->  E. x ph ) ).
82, 7gen11nv 28060 . . . . . 6  |-  (. A. y  y  =  x  ->.  A. y ( E. y ph 
<->  E. x ph ) ).
9 exbi 1588 . . . . . 6  |-  ( A. y ( E. y ph 
<->  E. x ph )  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. y E. x ph ) )
108, 9e1_ 28070 . . . . 5  |-  (. A. y  y  =  x  ->.  ( E. y E. y ph 
<->  E. y E. x ph ) ).
11 excom 1748 . . . . 5  |-  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )
12 bibi1 318 . . . . . 6  |-  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. y E. x ph )  ->  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. x E. y ph )  <->  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph ) ) )
1312biimprd 215 . . . . 5  |-  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. y E. x ph )  ->  ( ( E. y E. x ph 
<->  E. x E. y ph )  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. x E. y ph ) ) )
1410, 11, 13e10 28137 . . . 4  |-  (. A. y  y  =  x  ->.  ( E. y E. y ph 
<->  E. x E. y ph ) ).
15 nfe1 1739 . . . . 5  |-  F/ y E. y ph
161519.9 1791 . . . 4  |-  ( E. y E. y ph  <->  E. y ph )
17 bitr3 27937 . . . 4  |-  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. x E. y ph )  ->  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. y ph )  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
) )
1814, 16, 17e10 28137 . . 3  |-  (. A. y  y  =  x  ->.  ( E. x E. y ph 
<->  E. y ph ) ).
1918in1 28004 . 2  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
)
201, 19syl 16 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-ex 1548  df-nf 1551  df-vd1 28003
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