Theorem ecelqsi 4230

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set.

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- (B e. A -> [B]R e. (A/.R))

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq2 4216	. . 3 |- (y = B -> [y]R = [B]R)
2	1	eleq1d 1516	. 2 |- (y = B -> ([y]R e. (A/.R) <-> [B]R e. (A/.R)))
3		a9e 1112	. . . 4 |- E.x x = y
4		eqid 1452	. . . . . 6 |- [y]R = [y]R
5		eleq1 1510	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (x e. A <-> y e. A))
6		eceq2 4216	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> [x]R = [y]R)
7	6	eqeq2d 1462	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ([y]R = [x]R <-> [y]R = [y]R))
8	5, 7	anbi12d 626	. . . . . . 7 |- (x = y -> ((x e. A /\ [y]R = [x]R) <-> (y e. A /\ [y]R = [y]R)))
9	8	biimprcd 156	. . . . . 6 |- ((y e. A /\ [y]R = [y]R) -> (x = y -> (x e. A /\ [y]R = [x]R)))
10	4, 9	mpan2 693	. . . . 5 |- (y e. A -> (x = y -> (x e. A /\ [y]R = [x]R)))
11	10	19.22dv 1272	. . . 4 |- (y e. A -> (E.x x = y -> E.x(x e. A /\ [y]R = [x]R)))
12	3, 11	mpi 44	. . 3 |- (y e. A -> E.x(x e. A /\ [y]R = [x]R))
13		ecelqsi.1	. . . . 5 |- R e. V
14		ecexg 4203	. . . . 5 |- (R e. V -> [y]R e. V)
15	13, 14	ax-mp 7	. . . 4 |- [y]R e. V
16	15	elqs 4228	. . 3 |- ([y]R e. (A/.R) <-> E.x(x e. A /\ [y]R = [x]R))
17	12, 16	sylibr 200	. 2 |- (y e. A -> [y]R e. (A/.R))
18	2, 17	vtoclga 1827	1 |- (B e. A -> [B]R e. (A/.R))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786  [cec 4197  /.cqs 4198

This theorem is referenced by:  ecopqsi 4231  th3q 4255  1q 4980  addclpq 4981  mulclpq 4983  0r 5112  1r 5113  m1r 5114  addclsr 5115  mulclsr 5116

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-xp 3147  df-cnv 3149  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-ec 4201  df-qs 4204

Copyright terms: Public domain