Theorem ecopoprdm 4306

Description: Assuming the operation F is commutative, compute the domain the relation R specified by the first hypothesis.

Hypotheses

Ref	Expression
ecopopr.1	|- R = {<.x, y>. | ((x e. (S X. S) /\ y e. (S X. S)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (zFu) = (wFv)))}
ecopopr.com	|- (xFy) = (yFx)

Assertion

Ref	Expression
ecopoprdm	|- dom R = (S X. S)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,u,F   x,S,y,z,w,v,u

Proof of Theorem ecopoprdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecopopr.1	. . . . 5 |- R = {<.x, y>. | ((x e. (S X. S) /\ y e. (S X. S)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (zFu) = (wFv)))}
2		opabssxp 3231	. . . . 5 |- {<.x, y>. | ((x e. (S X. S) /\ y e. (S X. S)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (zFu) = (wFv)))} (_ ((S X. S) X. (S X. S))
3	1, 2	eqsstr 2089	. . . 4 |- R (_ ((S X. S) X. (S X. S))
4		dmss 3307	. . . 4 |- (R (_ ((S X. S) X. (S X. S)) -> dom R (_ dom ((S X. S) X. (S X. S)))
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 |- dom R (_ dom ((S X. S) X. (S X. S))
6		dmxpid 3330	. . 3 |- dom ((S X. S) X. (S X. S)) = (S X. S)
7	5, 6	sseqtr 2091	. 2 |- dom R (_ (S X. S)
8		relxp 3252	. . 3 |- Rel (S X. S)
9		visset 1811	. . . . 5 |- g e. V
10	9	opelxp 3211	. . . 4 |- (<.f, g>. e. (S X. S) <-> (f e. S /\ g e. S))
11		visset 1811	. . . . . . . 8 |- f e. V
12		ecopopr.com	. . . . . . . 8 |- (xFy) = (yFx)
13	11, 9, 12	caoprcom 4050	. . . . . . 7 |- (fFg) = (gFf)
14	1	ecopopreq 4305	. . . . . . . 8 |- (((f e. S /\ g e. S) /\ (f e. S /\ g e. S)) -> (<.f, g>.R<.f, g>. <-> (fFg) = (gFf)))
15	14	anidms 434	. . . . . . 7 |- ((f e. S /\ g e. S) -> (<.f, g>.R<.f, g>. <-> (fFg) = (gFf)))
16	13, 15	mpbiri 194	. . . . . 6 |- ((f e. S /\ g e. S) -> <.f, g>.R<.f, g>.)
17		df-br 2617	. . . . . 6 |- (<.f, g>.R<.f, g>. <-> <.<.f, g>., <.f, g>.>. e. R)
18	16, 17	sylib 198	. . . . 5 |- ((f e. S /\ g e. S) -> <.<.f, g>., <.f, g>.>. e. R)
19		opex 2779	. . . . . 6 |- <.f, g>. e. V
20	19	opeldm 3311	. . . . 5 |- (<.<.f, g>., <.f, g>.>. e. R -> <.f, g>. e. dom R)
21	18, 20	syl 10	. . . 4 |- ((f e. S /\ g e. S) -> <.f, g>. e. dom R)
22	10, 21	sylbi 199	. . 3 |- (<.f, g>. e. (S X. S) -> <.f, g>. e. dom R)
23	8, 22	relssi 3245	. 2 |- (S X. S) (_ dom R
24	7, 23	eqssi 2076	1 |- dom R = (S X. S)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979   (_ wss 2045  <.cop 2409   class class class wbr 2616  {copab 2663   X. cxp 3165  dom cdm 3167  (class class class)co 3960

This theorem is referenced by:  dmenq 5032  dmenr 5162

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fv 3195  df-opr 3962

Copyright terms: Public domain