Theorem ecopqsi 4299

Description: "Closure" law for equivalence class of ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
ecopqsi.1	|- R e. V
ecopqsi.2	|- S = ((A X. A)/.R)

Assertion

Ref	Expression
ecopqsi	|- ((B e. A /\ C e. A) -> [<.B, C>.]R e. S)

Proof of Theorem ecopqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 3223	. 2 |- ((B e. A /\ C e. A) -> <.B, C>. e. (A X. A))
2		ecopqsi.1	. . . 4 |- R e. V
3	2	ecelqsi 4298	. . 3 |- (<.B, C>. e. (A X. A) -> [<.B, C>.]R e. ((A X. A)/.R))
4		ecopqsi.2	. . 3 |- S = ((A X. A)/.R)
5	3, 4	syl6eleqr 1562	. 2 |- (<.B, C>. e. (A X. A) -> [<.B, C>.]R e. S)
6	1, 5	syl 10	1 |- ((B e. A /\ C e. A) -> [<.B, C>.]R e. S)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  <.cop 2415   X. cxp 3174  [cec 4265  /.cqs 4266

This theorem is referenced by:  brecop 4312  prlem934 5151

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-ec 4269  df-qs 4272

Copyright terms: Public domain