Theorem ecoprcom 4460

Description: Lemma used to transfer a commutative law via an equivalence relation.

Hypotheses

Ref	Expression
ecoprcom.1	|- C = ((S X. S)/.R)
ecoprcom.2	|- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = [<.D, G>.]R)
ecoprcom.3	|- (((z e. S /\ w e. S) /\ (x e. S /\ y e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
ecoprcom.4	|- D = H
ecoprcom.5	|- G = J

Assertion

Ref	Expression
ecoprcom	|- ((A e. C /\ B e. C) -> (AFB) = (BFA))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,F,y,z,w   x,R,y,z,w   x,S,y,z,w   z,C,w

Proof of Theorem ecoprcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecoprcom.1	. 2 |- C = ((S X. S)/.R)
2		opreq1 4026	. . 3 |- ([<.x, y>.]R = A -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = (AF[<.z, w>.]R))
3		opreq2 4027	. . 3 |- ([<.x, y>.]R = A -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = ([<.z, w>.]RFA))
4	2, 3	eqeq12d 1532	. 2 |- ([<.x, y>.]R = A -> (([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) <-> (AF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RFA)))
5		opreq2 4027	. . 3 |- ([<.z, w>.]R = B -> (AF[<.z, w>.]R) = (AFB))
6		opreq1 4026	. . 3 |- ([<.z, w>.]R = B -> ([<.z, w>.]RFA) = (BFA))
7	5, 6	eqeq12d 1532	. 2 |- ([<.z, w>.]R = B -> ((AF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RFA) <-> (AFB) = (BFA)))
8		ecoprcom.4	. . . 4 |- D = H
9		ecoprcom.5	. . . 4 |- G = J
10		opeq12 2554	. . . . 5 |- ((D = H /\ G = J) -> <.D, G>. = <.H, J>.)
11		eceq2 4418	. . . . 5 |- (<.D, G>. = <.H, J>. -> [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R)
12	10, 11	syl 10	. . . 4 |- ((D = H /\ G = J) -> [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R)
13	8, 9, 12	mp2an 701	. . 3 |- [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R
14		ecoprcom.2	. . 3 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = [<.D, G>.]R)
15		ecoprcom.3	. . . 4 |- (((z e. S /\ w e. S) /\ (x e. S /\ y e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
16	15	ancoms 438	. . 3 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
17	13, 14, 16	3eqtr4a 1575	. 2 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R))
18	1, 4, 7, 17	2ecoptocl 4445	1 |- ((A e. C /\ B e. C) -> (AFB) = (BFA))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  <.cop 2469   X. cxp 3249  (class class class)co 4021  [cec 4399  /.cqs 4400

This theorem is referenced by:  addcompq 5216  mulcompq 5218  addcomsr 5350  mulcomsr 5352  axaddcom 5429  axmulcom 5430

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-xp 3265  df-cnv 3267  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fv 3279  df-opr 4023  df-ec 4403  df-qs 4406

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