Theorem ecoprcom 4309

Description: Lemma used to transfer a commutative law via an equivalence relation.

Hypotheses

Ref	Expression
ecoprcom.1	|- C = ((S X. S)/.R)
ecoprcom.2	|- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = [<.D, G>.]R)
ecoprcom.3	|- (((z e. S /\ w e. S) /\ (x e. S /\ y e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
ecoprcom.4	|- D = H
ecoprcom.5	|- G = J

Assertion

Ref	Expression
ecoprcom	|- ((A e. C /\ B e. C) -> (AFB) = (BFA))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,F,y,z,w   x,R,y,z,w   x,S,y,z,w   z,C,w

Proof of Theorem ecoprcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecoprcom.1	. 2 |- C = ((S X. S)/.R)
2		opreq1 3959	. . 3 |- ([<.x, y>.]R = A -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = (AF[<.z, w>.]R))
3		opreq2 3960	. . 3 |- ([<.x, y>.]R = A -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = ([<.z, w>.]RFA))
4	2, 3	eqeq12d 1486	. 2 |- ([<.x, y>.]R = A -> (([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) <-> (AF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RFA)))
5		opreq2 3960	. . 3 |- ([<.z, w>.]R = B -> (AF[<.z, w>.]R) = (AFB))
6		opreq1 3959	. . 3 |- ([<.z, w>.]R = B -> ([<.z, w>.]RFA) = (BFA))
7	5, 6	eqeq12d 1486	. 2 |- ([<.z, w>.]R = B -> ((AF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RFA) <-> (AFB) = (BFA)))
8		ecoprcom.4	. . . 4 |- D = H
9		ecoprcom.5	. . . 4 |- G = J
10		opeq12 2485	. . . . 5 |- ((D = H /\ G = J) -> <.D, G>. = <.H, J>.)
11		eceq2 4268	. . . . 5 |- (<.D, G>. = <.H, J>. -> [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R)
12	10, 11	syl 10	. . . 4 |- ((D = H /\ G = J) -> [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R)
13	8, 9, 12	mp2an 696	. . 3 |- [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R
14		ecoprcom.2	. . 3 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = [<.D, G>.]R)
15		ecoprcom.3	. . . 4 |- (((z e. S /\ w e. S) /\ (x e. S /\ y e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
16	15	ancoms 436	. . 3 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
17	13, 14, 16	3eqtr4a 1529	. 2 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R))
18	1, 4, 7, 17	2ecoptocl 4294	1 |- ((A e. C /\ B e. C) -> (AFB) = (BFA))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  <.cop 2407   X. cxp 3163  (class class class)co 3954  [cec 4249  /.cqs 4250

This theorem is referenced by:  addcompq 5042  mulcompq 5044  addcomsr 5176  mulcomsr 5178  axaddcom 5255  axmulcom 5256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fv 3193  df-opr 3956  df-ec 4253  df-qs 4256

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