Theorem ecqs 4303

Description: Equivalence class in terms of quotient set.

Hypotheses

Ref	Expression
ecqs.1	|- A e. V
ecqs.2	|- R e. V

Assertion

Ref	Expression
ecqs	|- [A]R = U.({A}/.R)

Proof of Theorem ecqs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecqs.2	. . . 4 |- R e. V
2		ecexg 4271	. . . 4 |- (R e. V -> [A]R e. V)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- [A]R e. V
4	3	unisn 2521	. 2 |- U.{[A]R} = [A]R
5		ecqs.1	. . . 4 |- A e. V
6	5	snec 4302	. . 3 |- {[A]R} = ({A}/.R)
7	6	unieqi 2515	. 2 |- U.{[A]R} = U.({A}/.R)
8	4, 7	eqtr3 1500	1 |- [A]R = U.({A}/.R)

Syntax hints:   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  {csn 2413  U.cuni 2507  [cec 4265  /.cqs 4266

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-ec 4269  df-qs 4272

Copyright terms: Public domain