Theorem ef4pt 7400

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef4p.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}

Assertion

Ref	Expression
ef4pt	|- (A e. CC -> (exp` A) = ((((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k)))

Distinct variable groups:   A,j,k,y   k,F

Proof of Theorem ef4pt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3724	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (exp` A) = (exp` if(A e. CC, A, 0)))
2		opreq2 3969	. . . . . 6 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (1 + A) = (1 + if(A e. CC, A, 0)))
3		opreq1 3968	. . . . . . 7 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A^2) = (if(A e. CC, A, 0)^2))
4	3	opreq1d 3975	. . . . . 6 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A^2) / 2) = ((if(A e. CC, A, 0)^2) / 2))
5	2, 4	opreq12d 3978	. . . . 5 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((1 + A) + ((A^2) / 2)) = ((1 + if(A e. CC, A, 0)) + ((if(A e. CC, A, 0)^2) / 2)))
6		opreq1 3968	. . . . . 6 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A^3) = (if(A e. CC, A, 0)^3))
7	6	opreq1d 3975	. . . . 5 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A^3) / 6) = ((if(A e. CC, A, 0)^3) / 6))
8	5, 7	opreq12d 3978	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) = (((1 + if(A e. CC, A, 0)) + ((if(A e. CC, A, 0)^2) / 2)) + ((if(A e. CC, A, 0)^3) / 6)))
9		opreq1 3968	. . . . . . . . . . 11 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A^j) = (if(A e. CC, A, 0)^j))
10	9	opreq1d 3975	. . . . . . . . . 10 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A^j) / (!` j)) = ((if(A e. CC, A, 0)^j) / (!` j)))
11	10	eqeq2d 1486	. . . . . . . . 9 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (y = ((A^j) / (!` j)) <-> y = ((if(A e. CC, A, 0)^j) / (!` j))))
12	11	anbi2d 616	. . . . . . . 8 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j))) <-> (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. CC, A, 0)^j) / (!` j)))))
13	12	opabbidv 2670	. . . . . . 7 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. CC, A, 0)^j) / (!` j)))})
14		ef4p.1	. . . . . . 7 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
15	13, 14	syl5eq 1519	. . . . . 6 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. CC, A, 0)^j) / (!` j)))})
16	15	fveq1d 3726	. . . . 5 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (F` k) = ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. CC, A, 0)^j) / (!` j)))}` k))
17	16	sumeq2sdv 6993	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` 4)({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. CC, A, 0)^j) / (!` j)))}` k))
18	8, 17	opreq12d 3978	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k)) = ((((1 + if(A e. CC, A, 0)) + ((if(A e. CC, A, 0)^2) / 2)) + ((if(A e. CC, A, 0)^3) / 6)) + sum_k e. (ZZ>` 4)({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. CC, A, 0)^j) / (!` j)))}` k)))
19	1, 18	eqeq12d 1489	. 2 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((exp` A) = ((((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k)) <-> (exp` if(A e. CC, A, 0)) = ((((1 + if(A e. CC, A, 0)) + ((if(A e. CC, A, 0)^2) / 2)) + ((if(A e. CC, A, 0)^3) / 6)) + sum_k e. (ZZ>` 4)({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. CC, A, 0)^j) / (!` j)))}` k))))
20		eqid 1475	. . 3 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. CC, A, 0)^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. CC, A, 0)^j) / (!` j)))}
21		0cn 5328	. . . 4 |- 0 e. CC
22	21	elimel 2394	. . 3 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
23	20, 22	ef4p 7399	. 2 |- (exp` if(A e. CC, A, 0)) = ((((1 + if(A e. CC, A, 0)) + ((if(A e. CC, A, 0)^2) / 2)) + ((if(A e. CC, A, 0)^3) / 6)) + sum_k e. (ZZ>` 4)({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. CC, A, 0)^j) / (!` j)))}` k))
24	19, 23	dedth 2383	1 |- (A e. CC -> (exp` A) = ((((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  ifcif 2361  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   / cdiv 5294  NN0cn0 5297  2c2 5961  3c3 5962  4c4 5963  6c6 5965  ZZ>cuz 6417  ^cexp 6568  !cfa 6931  sum_csu 6979  expce 7293

This theorem is referenced by:  efi4pt 7435

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-5 5973  df-6 5974  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain