Theorem efaddlem13 7300

Description: Lemma for efadd 7316. Combine the bounds of efaddlem11 7298 and efaddlem12 7299.

Hypotheses

Ref	Expression
efaddlem12.1	|- N e. NN
efaddlem12.2	|- A e. CC
efaddlem12.3	|- B e. CC
efaddlem12.4	|- S = (|_` ((N + 1) / 2))
efaddlem12.5	|- T = (((|_` ((abs` A) + 1)) x. (|_` ((abs` B) + 1)))^2)

Assertion

Ref	Expression
efaddlem13	|- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (abs` ((A^j) x. (B^k))) <_ (T^S))

Proof of Theorem efaddlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efaddlem12.1	. . . 4 |- N e. NN
2	1	efaddlem9 7296	. . 3 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> ((j e. NN0 /\ j <_ N) /\ (k e. NN0 /\ k <_ N)))
3		axmulcl 5253	. . . . 5 |- (((A^j) e. CC /\ (B^k) e. CC) -> ((A^j) x. (B^k)) e. CC)
4		efaddlem12.2	. . . . . 6 |- A e. CC
5		expclt 6521	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ j e. NN0) -> (A^j) e. CC)
6	4, 5	mpan 694	. . . . 5 |- (j e. NN0 -> (A^j) e. CC)
7		efaddlem12.3	. . . . . 6 |- B e. CC
8		expclt 6521	. . . . . 6 |- ((B e. CC /\ k e. NN0) -> (B^k) e. CC)
9	7, 8	mpan 694	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (B^k) e. CC)
10	3, 6, 9	syl2an 454	. . . 4 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((A^j) x. (B^k)) e. CC)
11	10	ad2ant2r 409	. . 3 |- (((j e. NN0 /\ j <_ N) /\ (k e. NN0 /\ k <_ N)) -> ((A^j) x. (B^k)) e. CC)
12		absclt 6776	. . 3 |- (((A^j) x. (B^k)) e. CC -> (abs` ((A^j) x. (B^k))) e. RR)
13	2, 11, 12	3syl 20	. 2 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (abs` ((A^j) x. (B^k))) e. RR)
14	4	abscl 6782	. . . . . . . 8 |- (abs` A) e. RR
15		1re 5415	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
16	14, 15	readdcl 5314	. . . . . . 7 |- ((abs` A) + 1) e. RR
17		flclt 6182	. . . . . . 7 |- (((abs` A) + 1) e. RR -> (|_` ((abs` A) + 1)) e. ZZ)
18	16, 17	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (|_` ((abs` A) + 1)) e. ZZ
19	18	zre 6096	. . . . 5 |- (|_` ((abs` A) + 1)) e. RR
20	1	nnnn0 6062	. . . . 5 |- N e. NN0
21		reexpclt 6520	. . . . 5 |- (((|_` ((abs` A) + 1)) e. RR /\ N e. NN0) -> ((|_` ((abs` A) + 1))^N) e. RR)
22	19, 20, 21	mp2an 696	. . . 4 |- ((|_` ((abs` A) + 1))^N) e. RR
23	7	abscl 6782	. . . . . . . 8 |- (abs` B) e. RR
24	23, 15	readdcl 5314	. . . . . . 7 |- ((abs` B) + 1) e. RR
25		flclt 6182	. . . . . . 7 |- (((abs` B) + 1) e. RR -> (|_` ((abs` B) + 1)) e. ZZ)
26	24, 25	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (|_` ((abs` B) + 1)) e. ZZ
27	26	zre 6096	. . . . 5 |- (|_` ((abs` B) + 1)) e. RR
28		reexpclt 6520	. . . . 5 |- (((|_` ((abs` B) + 1)) e. RR /\ N e. NN0) -> ((|_` ((abs` B) + 1))^N) e. RR)
29	27, 20, 28	mp2an 696	. . . 4 |- ((|_` ((abs` B) + 1))^N) e. RR
30	22, 29	remulcl 5315	. . 3 |- (((|_` ((abs` A) + 1))^N) x. ((|_` ((abs` B) + 1))^N)) e. RR
31	30	a1i 8	. 2 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (((|_` ((abs` A) + 1))^N) x. ((|_` ((abs` B) + 1))^N)) e. RR)
32		efaddlem12.5	. . . . . 6 |- T = (((|_` ((abs` A) + 1)) x. (|_` ((abs` B) + 1)))^2)
33	4, 7, 32	efaddlem7 7294	. . . . 5 |- T e. NN
34	33	nnre 5887	. . . 4 |- T e. RR
35		efaddlem12.4	. . . . . 6 |- S = (|_` ((N + 1) / 2))
36	1, 35	efaddlem8 7295	. . . . 5 |- S e. NN
37	36	nnnn0 6062	. . . 4 |- S e. NN0
38		reexpclt 6520	. . . 4 |- ((T e. RR /\ S e. NN0) -> (T^S) e. RR)
39	34, 37, 38	mp2an 696	. . 3 |- (T^S) e. RR
40	39	a1i 8	. 2 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (T^S) e. RR)
41	1, 4, 7	efaddlem11 7298	. 2 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (abs` ((A^j) x. (B^k))) <_ (((|_` ((abs` A) + 1))^N) x. ((|_` ((abs` B) + 1))^N)))
42	1, 4, 7, 35, 32	efaddlem12 7299	. . 3 |- (((|_` ((abs` A) + 1))^N) x. ((|_` ((abs` B) + 1))^N)) <_ (T^S)
43	42	a1i 8	. 2 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (((|_` ((abs` A) + 1))^N) x. ((|_` ((abs` B) + 1))^N)) <_ (T^S))
44	13, 31, 40, 41, 43	letrd 5507	1 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (abs` ((A^j) x. (B^k))) <_ (T^S))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   - cmin 5272   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276  NN0cn0 5277  ZZcz 5278  2c2 5916  |_cfl 6179  ...cfz 6407  ^cexp 6508  abscabs 6689

This theorem is referenced by:  efaddlem17 7304

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-seq1 6253  df-fz 6408  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693

Copyright terms: Public domain