Theorem efaddlem16 7353

Description: Lemma for efadd 7366. The double summation of a constant C (that is independent of j and k) has an upper bound that grows as the square of N.

Hypotheses

Ref	Expression
efaddlem16.1	|- N e. NN
efaddlem16.2	|- C e. RR
efaddlem16.3	|- 0 <_ C

Assertion

Ref	Expression
efaddlem16	|- sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C <_ ((N^2) x. C)

Distinct variable groups:   j,k,N   C,j,k

Proof of Theorem efaddlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efaddlem16.1	. . . 4 |- N e. NN
2		nnuz 6439	. . . 4 |- NN = (ZZ>` 1)
3	1, 2	eleqtr 1546	. . 3 |- N e. (ZZ>` 1)
4		fsumreclt 7017	. . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>` ((N - j) + 1)) /\ A.k e. (((N - j) + 1)...N)C e. RR) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C e. RR)
5	1	efaddlem1 7338	. . . . . 6 |- (j e. (1...N) -> N e. (ZZ>` ((N - j) + 1)))
6		efaddlem16.2	. . . . . . . 8 |- C e. RR
7	6	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> C e. RR)
8	7	r19.21aiva 1714	. . . . . 6 |- (j e. (1...N) -> A.k e. (((N - j) + 1)...N)C e. RR)
9	4, 5, 8	sylanc 471	. . . . 5 |- (j e. (1...N) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C e. RR)
10	1	nnre 5931	. . . . . . 7 |- N e. RR
11	10, 6	remulcl 5335	. . . . . 6 |- (N x. C) e. RR
12	11	a1i 8	. . . . 5 |- (j e. (1...N) -> (N x. C) e. RR)
13	6	recn 5314	. . . . . . . . 9 |- C e. CC
14		fsumconst 7038	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>` ((N - j) + 1)) /\ C e. CC) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C = (((N - ((N - j) + 1)) + 1) x. C))
15	13, 14	mpan2 696	. . . . . . . 8 |- (N e. (ZZ>` ((N - j) + 1)) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C = (((N - ((N - j) + 1)) + 1) x. C))
16	5, 15	syl 10	. . . . . . 7 |- (j e. (1...N) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C = (((N - ((N - j) + 1)) + 1) x. C))
17		elfzelz 6482	. . . . . . . . 9 |- (j e. (1...N) -> j e. ZZ)
18		zcnt 6140	. . . . . . . . 9 |- (j e. ZZ -> j e. CC)
19	1	nncn 5932	. . . . . . . . . . . 12 |- N e. CC
20		subclt 5367	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. CC /\ j e. CC) -> (N - j) e. CC)
21	19, 20	mpan 695	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. CC -> (N - j) e. CC)
22		ax1cn 5269	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
23		nppcan2t 5470	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. CC /\ (N - j) e. CC /\ 1 e. CC) -> ((N - ((N - j) + 1)) + 1) = (N - (N - j)))
24	19, 22, 23	mp3an13 907	. . . . . . . . . . 11 |- ((N - j) e. CC -> ((N - ((N - j) + 1)) + 1) = (N - (N - j)))
25	21, 24	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (j e. CC -> ((N - ((N - j) + 1)) + 1) = (N - (N - j)))
26		nncant 5469	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. CC /\ j e. CC) -> (N - (N - j)) = j)
27	19, 26	mpan 695	. . . . . . . . . 10 |- (j e. CC -> (N - (N - j)) = j)
28	25, 27	eqtrd 1507	. . . . . . . . 9 |- (j e. CC -> ((N - ((N - j) + 1)) + 1) = j)
29	17, 18, 28	3syl 20	. . . . . . . 8 |- (j e. (1...N) -> ((N - ((N - j) + 1)) + 1) = j)
30	29	opreq1d 3975	. . . . . . 7 |- (j e. (1...N) -> (((N - ((N - j) + 1)) + 1) x. C) = (j x. C))
31	16, 30	eqtrd 1507	. . . . . 6 |- (j e. (1...N) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C = (j x. C))
32		efaddlem16.3	. . . . . . . 8 |- 0 <_ C
33		lemul1itOLD 5838	. . . . . . . . . 10 |- (((j e. RR /\ N e. RR /\ C e. RR) /\ (0 <_ C /\ j <_ N)) -> (j x. C) <_ (N x. C))
34	33	ex 373	. . . . . . . . 9 |- ((j e. RR /\ N e. RR /\ C e. RR) -> ((0 <_ C /\ j <_ N) -> (j x. C) <_ (N x. C)))
35	10, 6, 34	mp3an23 908	. . . . . . . 8 |- (j e. RR -> ((0 <_ C /\ j <_ N) -> (j x. C) <_ (N x. C)))
36	32, 35	mpani 698	. . . . . . 7 |- (j e. RR -> (j <_ N -> (j x. C) <_ (N x. C)))
37		zret 6139	. . . . . . . 8 |- (j e. ZZ -> j e. RR)
38	17, 37	syl 10	. . . . . . 7 |- (j e. (1...N) -> j e. RR)
39		elfzle2 6484	. . . . . . 7 |- (j e. (1...N) -> j <_ N)
40	36, 38, 39	sylc 68	. . . . . 6 |- (j e. (1...N) -> (j x. C) <_ (N x. C))
41	31, 40	eqbrtrd 2635	. . . . 5 |- (j e. (1...N) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C <_ (N x. C))
42	9, 12, 41	3jca 819	. . . 4 |- (j e. (1...N) -> (sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C e. RR /\ (N x. C) e. RR /\ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C <_ (N x. C)))
43	42	rgen 1698	. . 3 |- A.j e. (1...N)(sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C e. RR /\ (N x. C) e. RR /\ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C <_ (N x. C))
44		fsumcmp 7040	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` 1) /\ A.j e. (1...N)(sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C e. RR /\ (N x. C) e. RR /\ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C <_ (N x. C))) -> sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C <_ sum_j e. (1...N)(N x. C))
45	3, 43, 44	mp2an 697	. 2 |- sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C <_ sum_j e. (1...N)(N x. C)
46	11	recn 5314	. . . 4 |- (N x. C) e. CC
47		fsumconst 7038	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>` 1) /\ (N x. C) e. CC) -> sum_j e. (1...N)(N x. C) = (((N - 1) + 1) x. (N x. C)))
48	3, 46, 47	mp2an 697	. . 3 |- sum_j e. (1...N)(N x. C) = (((N - 1) + 1) x. (N x. C))
49		npcant 5399	. . . . 5 |- ((N e. CC /\ 1 e. CC) -> ((N - 1) + 1) = N)
50	19, 22, 49	mp2an 697	. . . 4 |- ((N - 1) + 1) = N
51	50	opreq1i 3971	. . 3 |- (((N - 1) + 1) x. (N x. C)) = (N x. (N x. C))
52	19	sqval 6614	. . . . 5 |- (N^2) = (N x. N)
53	52	opreq1i 3971	. . . 4 |- ((N^2) x. C) = ((N x. N) x. C)
54	19, 19, 13	mulass 5325	. . . 4 |- ((N x. N) x. C) = (N x. (N x. C))
55	53, 54	eqtr2 1496	. . 3 |- (N x. (N x. C)) = ((N^2) x. C)
56	48, 51, 55	3eqtr 1499	. 2 |- sum_j e. (1...N)(N x. C) = ((N^2) x. C)
57	45, 56	breqtr 2638	1 |- sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)C <_ ((N^2) x. C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292   <_ cle 5295  NNcn 5296  ZZcz 5298  2c2 5961  ZZ>cuz 6417  ...cfz 6467  ^cexp 6568  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  efaddlem22 7359

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain