Theorem efaddlem18 7333

Description: Lemma for efadd 7344. Closure of the double summation of the constant upper bound of efaddlem17 7332.

Hypotheses

Ref	Expression
efaddlem17.1	|- N e. NN
efaddlem17.2	|- A e. CC
efaddlem17.3	|- B e. CC
efaddlem17.4	|- S = (|_` ((N + 1) / 2))
efaddlem17.5	|- T = (((|_` ((abs` A) + 1)) x. (|_` ((abs` B) + 1)))^2)

Assertion

Ref	Expression
efaddlem18	|- sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR

Distinct variable group:   j,k,N

Proof of Theorem efaddlem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efaddlem17.1	. . 3 |- N e. NN
2		nnuz 6389	. . 3 |- NN = (ZZ>` 1)
3	1, 2	eleqtr 1545	. 2 |- N e. (ZZ>` 1)
4		fsumreclt 6985	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>` ((N - j) + 1)) /\ A.k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR)
5	1	efaddlem1 7316	. . . 4 |- (j e. (1...N) -> N e. (ZZ>` ((N - j) + 1)))
6		efaddlem17.2	. . . . . . . . . 10 |- A e. CC
7		efaddlem17.3	. . . . . . . . . 10 |- B e. CC
8		efaddlem17.5	. . . . . . . . . 10 |- T = (((|_` ((abs` A) + 1)) x. (|_` ((abs` B) + 1)))^2)
9	6, 7, 8	efaddlem7 7322	. . . . . . . . 9 |- T e. NN
10	9	nnre 5893	. . . . . . . 8 |- T e. RR
11		efaddlem17.4	. . . . . . . . . 10 |- S = (|_` ((N + 1) / 2))
12	1, 11	efaddlem8 7323	. . . . . . . . 9 |- S e. NN
13	12	nnnn0 6068	. . . . . . . 8 |- S e. NN0
14		reexpclt 6530	. . . . . . . 8 |- ((T e. RR /\ S e. NN0) -> (T^S) e. RR)
15	10, 13, 14	mp2an 696	. . . . . . 7 |- (T^S) e. RR
16		facclt 6906	. . . . . . . . 9 |- (S e. NN0 -> (!` S) e. NN)
17	13, 16	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (!` S) e. NN
18	17	nnre 5893	. . . . . . 7 |- (!` S) e. RR
19		facne0t 6907	. . . . . . . 8 |- (S e. NN0 -> (!` S) =/= 0)
20	13, 19	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (!` S) =/= 0
21	15, 18, 20	redivcl 5768	. . . . . 6 |- ((T^S) / (!` S)) e. RR
22	21	a1i 8	. . . . 5 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> ((T^S) / (!` S)) e. RR)
23	22	r19.21aiva 1713	. . . 4 |- (j e. (1...N) -> A.k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR)
24	4, 5, 23	sylanc 471	. . 3 |- (j e. (1...N) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR)
25	24	rgen 1697	. 2 |- A.j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR
26		fsumreclt 6985	. 2 |- ((N e. (ZZ>` 1) /\ A.j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR) -> sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR)
27	3, 25, 26	mp2an 696	1 |- sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1584  A.wral 1644  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  RRcr 5220  0cc0 5221  1c1 5222   + caddc 5224   x. cmul 5226   - cmin 5279   / cdiv 5281  NNcn 5283  NN0cn0 5284  2c2 5922  |_cfl 6185  ZZ>cuz 6367  ...cfz 6417  ^cexp 6518  abscabs 6702  !cfa 6897  sum_csu 6947

This theorem is referenced by:  efaddlem19 7334  efaddlem22 7337

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-n0 6061  df-z 6097  df-fl 6186  df-seq1 6263  df-shft 6296  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seqz 6483  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-fac 6898  df-sum 6948

Copyright terms: Public domain