Theorem efaddlem3 7282

Description: Lemma for efadd 7308. Closure of the right-hand summation of efaddlem6 7285.

Hypotheses

Ref	Expression
efaddlem3.1	|- N e. NN
efaddlem3.2	|- A e. CC
efaddlem3.3	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
efaddlem3	|- sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC

Distinct variable group:   j,k,N

Proof of Theorem efaddlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efaddlem3.1	. . 3 |- N e. NN
2		nnuz 6371	. . 3 |- NN = (ZZ>` 1)
3	1, 2	eleqtr 1538	. 2 |- N e. (ZZ>` 1)
4		fsumclt 6953	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>` ((N - j) + 1)) /\ A.k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
5	1	efaddlem1 7280	. . . 4 |- (j e. (1...N) -> N e. (ZZ>` ((N - j) + 1)))
6		divclt 5681	. . . . . . . 8 |- ((((A^j) x. (B^k)) e. CC /\ ((!` j) x. (!` k)) e. CC /\ ((!` j) x. (!` k)) =/= 0) -> (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
7		axmulcl 5245	. . . . . . . . 9 |- (((A^j) e. CC /\ (B^k) e. CC) -> ((A^j) x. (B^k)) e. CC)
8		efaddlem3.2	. . . . . . . . . 10 |- A e. CC
9		expclt 6513	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ j e. NN0) -> (A^j) e. CC)
10	8, 9	mpan 693	. . . . . . . . 9 |- (j e. NN0 -> (A^j) e. CC)
11		efaddlem3.3	. . . . . . . . . 10 |- B e. CC
12		expclt 6513	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. CC /\ k e. NN0) -> (B^k) e. CC)
13	11, 12	mpan 693	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (B^k) e. CC)
14	7, 10, 13	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((A^j) x. (B^k)) e. CC)
15		nnmulclt 5889	. . . . . . . . . 10 |- (((!` j) e. NN /\ (!` k) e. NN) -> ((!` j) x. (!` k)) e. NN)
16		facclt 6877	. . . . . . . . . 10 |- (j e. NN0 -> (!` j) e. NN)
17		facclt 6877	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
18	15, 16, 17	syl2an 454	. . . . . . . . 9 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` j) x. (!` k)) e. NN)
19		nncnt 5878	. . . . . . . . 9 |- (((!` j) x. (!` k)) e. NN -> ((!` j) x. (!` k)) e. CC)
20	18, 19	syl 10	. . . . . . . 8 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` j) x. (!` k)) e. CC)
21		nnne0t 5897	. . . . . . . . 9 |- (((!` j) x. (!` k)) e. NN -> ((!` j) x. (!` k)) =/= 0)
22	18, 21	syl 10	. . . . . . . 8 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` j) x. (!` k)) =/= 0)
23	6, 14, 20, 22	syl3anc 856	. . . . . . 7 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
24		nnnn0t 6053	. . . . . . 7 |- (j e. NN -> j e. NN0)
25		nnnn0t 6053	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> k e. NN0)
26	23, 24, 25	syl2an 454	. . . . . 6 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
27		elfznnt 6426	. . . . . . 7 |- (j e. (1...N) -> j e. NN)
28	27	adantr 389	. . . . . 6 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> j e. NN)
29	1	efaddlem2 7281	. . . . . 6 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> k e. NN)
30	26, 28, 29	sylanc 471	. . . . 5 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
31	30	r19.21aiva 1706	. . . 4 |- (j e. (1...N) -> A.k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
32	4, 5, 31	sylanc 471	. . 3 |- (j e. (1...N) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
33	32	rgen 1690	. 2 |- A.j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC
34		fsumclt 6953	. 2 |- ((N e. (ZZ>` 1) /\ A.j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC) -> sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
35	3, 33, 34	mp2an 695	1 |- sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264   / cdiv 5266  NNcn 5268  NN0cn0 5269  ZZ>cuz 6349  ...cfz 6399  ^cexp 6500  !cfa 6868  sum_csu 6917

This theorem is referenced by:  efaddlem4 7283  efaddlem6 7285

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-exp 6501  df-fac 6869  df-sum 6918

Copyright terms: Public domain