MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcan Unicode version

Theorem efcan 11579
Description: Cancellation of law for exponential function. Equation 27 of [Rudin] p. 164. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
efcan  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )

Proof of Theorem efcan
StepHypRef Expression
1 negcl 8477 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
2 efadd 11578 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  -u A
) ) )
31, 2mpdan 642 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) ) )
4 negid 8519 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
54fveq2d 5058 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( exp `  0
) )
6 ef0 11575 . . 3  |-  ( exp `  0 )  =  1
75, 6syl6eq 2117 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  1 )
83, 7eqtr3d 2103 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1524    e. wcel 1526   ` cfv 4278  (class class class)co 5370   CCcc 8166   0cc0 8168   1c1 8169    + caddc 8171    x. cmul 8173   -ucneg 8463   expce 11546
This theorem is referenced by:  efne0  11580  efneg  11581  efsub  11583  tanval3  11617  reeff1o  18432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1446  ax-6 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-8 1528  ax-11 1529  ax-13 1530  ax-14 1531  ax-17 1533  ax-12o 1567  ax-10 1581  ax-9 1587  ax-4 1594  ax-16 1780  ax-ext 2051  ax-rep 3701  ax-sep 3711  ax-nul 3719  ax-pow 3755  ax-pr 3779  ax-un 4071  ax-inf2 6835  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-icn 8226  ax-addcl 8227  ax-addrcl 8228  ax-mulcl 8229  ax-mulrcl 8230  ax-mulcom 8231  ax-addass 8232  ax-mulass 8233  ax-distr 8234  ax-i2m1 8235  ax-1ne0 8236  ax-1rid 8237  ax-rnegex 8238  ax-rrecex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-lttri 8241  ax-pre-lttrn 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-sup 8245  ax-addf 8246  ax-mulf 8247
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1259  df-ex 1451  df-sb 1741  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2057  df-cleq 2062  df-clel 2065  df-ne 2189  df-nel 2190  df-ral 2283  df-rex 2284  df-reu 2285  df-rab 2286  df-v 2482  df-sbc 2656  df-csb 2738  df-dif 2801  df-un 2803  df-in 2805  df-ss 2809  df-pss 2811  df-nul 3078  df-if 3187  df-pw 3248  df-sn 3266  df-pr 3267  df-tp 3268  df-op 3269  df-uni 3435  df-int 3469  df-iun 3512  df-br 3597  df-opab 3651  df-mpt 3652  df-tr 3684  df-eprel 3866  df-id 3870  df-po 3875  df-so 3876  df-fr 3913  df-se 3914  df-we 3915  df-ord 3956  df-on 3957  df-lim 3958  df-suc 3959  df-om 4234  df-xp 4280  df-rel 4281  df-cnv 4282  df-co 4283  df-dm 4284  df-rn 4285  df-res 4286  df-ima 4287  df-fun 4288  df-fn 4289  df-f 4290  df-f1 4291  df-fo 4292  df-f1o 4293  df-fv 4294  df-iso 4295  df-ov 5373  df-oprab 5374  df-mpt2 5375  df-1st 5624  df-2nd 5625  df-iota 5780  df-recs 5853  df-rdg 5888  df-1o 5944  df-oadd 5948  df-er 6125  df-pm 6230  df-en 6312  df-dom 6313  df-sdom 6314  df-fin 6315  df-riota 6478  df-sup 6686  df-oi 6718  df-card 7064  df-pnf 8299  df-mnf 8300  df-xr 8301  df-ltxr 8302  df-le 8303  df-sub 8464  df-neg 8465  df-div 8829  df-n 9138  df-2 9195  df-3 9196  df-n0 9354  df-z 9413  df-uz 9619  df-rp 9743  df-ico 10049  df-fz 10165  df-fzo 10253  df-fl 10304  df-seq 10421  df-exp 10479  df-fac 10662  df-bc 10689  df-hash 10711  df-shft 10776  df-cj 10798  df-re 10799  df-im 10800  df-sqr 10934  df-abs 10935  df-limsup 11156  df-clim 11173  df-rlim 11174  df-sum 11370  df-ef 11552
  Copyright terms: Public domain W3C validator