MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcan Unicode version

Theorem efcan 12184
Description: Cancellation of law for exponential function. Equation 27 of [Rudin] p. 164. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
efcan  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )

Proof of Theorem efcan
StepHypRef Expression
1 negcl 8901 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
2 efadd 12183 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  -u A
) ) )
31, 2mpdan 646 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) ) )
4 negid 8943 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
54fveq2d 5356 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( exp `  0
) )
6 ef0 12180 . . 3  |-  ( exp `  0 )  =  1
75, 6syl6eq 2289 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  1 )
83, 7eqtr3d 2275 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 5    = wceq 1608    e. wcel 1610   ` cfv 4571  (class class class)co 5685   CCcc 8589   0cc0 8591   1c1 8592    + caddc 8594    x. cmul 8596   -ucneg 8887   expce 12151
This theorem is referenced by:  efne0  12185  efneg  12186  efsub  12188  tanval3  12222  reeff1o  19501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-mp 9  ax-5 1522  ax-6 1523  ax-7 1524  ax-gen 1525  ax-8 1612  ax-11 1613  ax-13 1614  ax-14 1615  ax-17 1617  ax-12o 1653  ax-10 1667  ax-9 1673  ax-4 1681  ax-16 1915  ax-ext 2222  ax-rep 4007  ax-sep 4017  ax-nul 4025  ax-pow 4061  ax-pr 4087  ax-un 4382  ax-inf2 7200  ax-cnex 8647  ax-resscn 8648  ax-1cn 8649  ax-icn 8650  ax-addcl 8651  ax-addrcl 8652  ax-mulcl 8653  ax-mulrcl 8654  ax-mulcom 8655  ax-addass 8656  ax-mulass 8657  ax-distr 8658  ax-i2m1 8659  ax-1ne0 8660  ax-1rid 8661  ax-rnegex 8662  ax-rrecex 8663  ax-cnre 8664  ax-pre-lttri 8665  ax-pre-lttrn 8666  ax-pre-ltadd 8667  ax-pre-mulgt0 8668  ax-pre-sup 8669  ax-addf 8670  ax-mulf 8671
This theorem depends on definitions:  df-bi 176  df-or 358  df-an 359  df-3or 934  df-3an 935  df-tru 1309  df-ex 1527  df-nf 1529  df-sb 1872  df-eu 2106  df-mo 2107  df-clab 2228  df-cleq 2234  df-clel 2237  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2403  df-ral 2499  df-rex 2500  df-reu 2501  df-rab 2502  df-v 2714  df-sbc 2907  df-csb 2990  df-dif 3061  df-un 3063  df-in 3065  df-ss 3069  df-pss 3071  df-nul 3343  df-if 3451  df-pw 3512  df-sn 3530  df-pr 3531  df-tp 3532  df-op 3533  df-uni 3708  df-int 3741  df-iun 3785  df-br 3901  df-opab 3955  df-mpt 3956  df-tr 3990  df-eprel 4177  df-id 4181  df-po 4186  df-so 4187  df-fr 4224  df-se 4225  df-we 4226  df-ord 4267  df-on 4268  df-lim 4269  df-suc 4270  df-om 4527  df-xp 4573  df-rel 4574  df-cnv 4575  df-co 4576  df-dm 4577  df-rn 4578  df-res 4579  df-ima 4580  df-fun 4581  df-fn 4582  df-f 4583  df-f1 4584  df-fo 4585  df-f1o 4586  df-fv 4587  df-isom 4588  df-ov 5688  df-oprab 5689  df-mpt2 5690  df-1st 5948  df-2nd 5949  df-iota 6117  df-riota 6164  df-recs 6248  df-rdg 6283  df-1o 6339  df-oadd 6343  df-er 6520  df-pm 6635  df-en 6724  df-dom 6725  df-sdom 6726  df-fin 6727  df-sup 7052  df-oi 7083  df-card 7430  df-pnf 8723  df-mnf 8724  df-xr 8725  df-ltxr 8726  df-le 8727  df-sub 8888  df-neg 8889  df-div 9256  df-n 9567  df-2 9624  df-3 9625  df-n0 9784  df-z 9843  df-uz 10049  df-rp 10173  df-ico 10479  df-fz 10598  df-fzo 10686  df-fl 10740  df-seq 10862  df-exp 10920  df-fac 11103  df-bc 11130  df-hash 11152  df-shft 11375  df-cj 11397  df-re 11398  df-im 11399  df-sqr 11533  df-abs 11534  df-limsup 11756  df-clim 11773  df-rlim 11774  df-sum 11970  df-ef 12157
  Copyright terms: Public domain W3C validator