HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem efcan 11035
Description: Cancellation of law for exponential function. Equation 27 of [Rudin] p. 164. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
efcan  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )

Proof of Theorem efcan
StepHypRef Expression
1 negcl 8420 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
2 efadd 11034 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  -u A
) ) )
31, 2mpdan 641 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) ) )
4 negid 8432 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
54fveq2d 5045 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( exp `  0
) )
6 ef0 11031 . . 3  |-  ( exp `  0 )  =  1
75, 6syl6eq 2110 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  1 )
83, 7eqtr3d 2096 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1518    e. wcel 1520   ` cfv 4266  (class class class)co 5356   CCcc 8151   0cc0 8153   1c1 8154    + caddc 8156    x. cmul 8158   -ucneg 8390   expce 11003
This theorem is referenced by:  efne0  11036  efneg  11037  efsub  11039  tanval3  11069  reeff1o  17853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1440  ax-6 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-8 1522  ax-11 1523  ax-13 1524  ax-14 1525  ax-17 1527  ax-12o 1560  ax-10 1574  ax-9 1580  ax-4 1587  ax-16 1773  ax-ext 2044  ax-rep 3689  ax-sep 3699  ax-nul 3707  ax-pow 3743  ax-pr 3767  ax-un 4059  ax-inf2 6821  ax-cnex 8208  ax-resscn 8209  ax-1cn 8210  ax-icn 8211  ax-addcl 8212  ax-addrcl 8213  ax-mulcl 8214  ax-mulrcl 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-mulass 8218  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-1ne0 8221  ax-1rid 8222  ax-rnegex 8223  ax-rrecex 8224  ax-cnre 8225  ax-pre-lttri 8226  ax-pre-lttrn 8227  ax-pre-ltadd 8228  ax-pre-mulgt0 8229  ax-pre-sup 8230  ax-addf 8231  ax-mulf 8232
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1257  df-ex 1445  df-sb 1734  df-eu 1956  df-mo 1957  df-clab 2050  df-cleq 2055  df-clel 2058  df-ne 2182  df-nel 2183  df-ral 2276  df-rex 2277  df-reu 2278  df-rab 2279  df-v 2475  df-sbc 2649  df-csb 2731  df-dif 2794  df-un 2796  df-in 2798  df-ss 2802  df-pss 2804  df-nul 3071  df-if 3180  df-pw 3241  df-sn 3259  df-pr 3260  df-tp 3261  df-op 3262  df-uni 3423  df-int 3457  df-iun 3500  df-br 3585  df-opab 3639  df-mpt 3640  df-tr 3672  df-eprel 3854  df-id 3858  df-po 3863  df-so 3864  df-fr 3901  df-se 3902  df-we 3903  df-ord 3944  df-on 3945  df-lim 3946  df-suc 3947  df-om 4222  df-xp 4268  df-rel 4269  df-cnv 4270  df-co 4271  df-dm 4272  df-rn 4273  df-res 4274  df-ima 4275  df-fun 4276  df-fn 4277  df-f 4278  df-f1 4279  df-fo 4280  df-f1o 4281  df-fv 4282  df-iso 4283  df-ov 5359  df-oprab 5360  df-mpt2 5361  df-1st 5610  df-2nd 5611  df-iota 5766  df-recs 5839  df-rdg 5874  df-1o 5930  df-oadd 5934  df-er 6111  df-pm 6216  df-en 6298  df-dom 6299  df-sdom 6300  df-fin 6301  df-riota 6464  df-sup 6672  df-oi 6704  df-card 7050  df-pnf 8271  df-mnf 8272  df-xr 8273  df-ltxr 8274  df-le 8275  df-sub 8408  df-neg 8409  df-div 8640  df-n 8883  df-2 8930  df-3 8931  df-n0 9076  df-z 9128  df-uz 9326  df-rp 9448  df-ico 9688  df-fz 9804  df-fzo 9892  df-fl 9943  df-seq 10054  df-exp 10112  df-fac 10252  df-bc 10279  df-hash 10301  df-shft 10366  df-cj 10388  df-re 10389  df-im 10390  df-sqr 10486  df-abs 10487  df-limsup 10655  df-clim 10671  df-rlim 10672  df-sum 10830  df-ef 11009
Copyright terms: Public domain