MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcan Unicode version

Theorem efcan 12212
Description: Cancellation of law for exponential function. Equation 27 of [Rudin] p. 164. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
efcan  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )

Proof of Theorem efcan
StepHypRef Expression
1 negcl 8924 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
2 efadd 12211 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  -u A
) ) )
31, 2mpdan 652 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) ) )
4 negid 8966 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
54fveq2d 5378 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( exp `  0
) )
6 ef0 12208 . . 3  |-  ( exp `  0 )  =  1
75, 6syl6eq 2301 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  1 )
83, 7eqtr3d 2287 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4589  (class class class)co 5707   CCcc 8612   0cc0 8614   1c1 8615    + caddc 8617    x. cmul 8619   -ucneg 8910   expce 12179
This theorem is referenced by:  efne0  12213  efneg  12214  efsub  12216  tanval3  12250  reeff1o  19617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4025  ax-sep 4035  ax-nul 4043  ax-pow 4079  ax-pr 4105  ax-un 4400  ax-inf2 7223  ax-cnex 8670  ax-resscn 8671  ax-1cn 8672  ax-icn 8673  ax-addcl 8674  ax-addrcl 8675  ax-mulcl 8676  ax-mulrcl 8677  ax-mulcom 8678  ax-addass 8679  ax-mulass 8680  ax-distr 8681  ax-i2m1 8682  ax-1ne0 8683  ax-1rid 8684  ax-rnegex 8685  ax-rrecex 8686  ax-cnre 8687  ax-pre-lttri 8688  ax-pre-lttrn 8689  ax-pre-ltadd 8690  ax-pre-mulgt0 8691  ax-pre-sup 8692  ax-addf 8693  ax-mulf 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2511  df-rex 2512  df-reu 2513  df-rab 2514  df-v 2727  df-sbc 2920  df-csb 3007  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3086  df-pss 3088  df-nul 3360  df-if 3468  df-pw 3529  df-sn 3547  df-pr 3548  df-tp 3549  df-op 3550  df-uni 3725  df-int 3758  df-iun 3802  df-br 3918  df-opab 3972  df-mpt 3973  df-tr 4008  df-eprel 4195  df-id 4199  df-po 4204  df-so 4205  df-fr 4242  df-se 4243  df-we 4244  df-ord 4285  df-on 4286  df-lim 4287  df-suc 4288  df-om 4545  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-fun 4599  df-fn 4600  df-f 4601  df-f1 4602  df-fo 4603  df-f1o 4604  df-fv 4605  df-isom 4606  df-ov 5710  df-oprab 5711  df-mpt2 5712  df-1st 5971  df-2nd 5972  df-iota 6140  df-riota 6187  df-recs 6271  df-rdg 6306  df-1o 6362  df-oadd 6366  df-er 6543  df-pm 6658  df-en 6747  df-dom 6748  df-sdom 6749  df-fin 6750  df-sup 7075  df-oi 7106  df-card 7453  df-pnf 8746  df-mnf 8747  df-xr 8748  df-ltxr 8749  df-le 8750  df-sub 8911  df-neg 8912  df-div 9280  df-n 9595  df-2 9652  df-3 9653  df-n0 9812  df-z 9871  df-uz 10077  df-rp 10201  df-ico 10507  df-fz 10626  df-fzo 10714  df-fl 10768  df-seq 10890  df-exp 10948  df-fac 11131  df-bc 11158  df-hash 11180  df-shft 11403  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-sqr 11561  df-abs 11562  df-limsup 11784  df-clim 11801  df-rlim 11802  df-sum 11998  df-ef 12185
  Copyright terms: Public domain W3C validator