HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem efcan 10948
Description: Cancellation of law for exponential function. Equation 27 of [Rudin] p. 164. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
efcan  |-  ( A  e.  CC  ->  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  -u A
) )  =  1 )

Proof of Theorem efcan
StepHypRef Expression
1 negcl 8404 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
2 efadd 10947 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) ) )
31, 2mpdan 645 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) ) )
4 negid 8416 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
54fveq2d 5046 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( exp `  0
) )
6 ef0 10944 . . 3  |-  ( exp `  0 )  =  1
75, 6syl6eq 2130 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  1 )
83, 7eqtr3d 2116 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  -u A
) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1536    e. wcel 1538   ` cfv 4287  (class class class)co 5354   CCcc 8135   0cc0 8137   1c1 8138    + caddc 8140    x. cmul 8142   -ucneg 8374   expce 10916
This theorem is referenced by:  efne0  10949  efneg  10950  efsub  10952  tanval3  10982  reeff1o  17426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1451  ax-6 1452  ax-7 1453  ax-gen 1454  ax-8 1540  ax-11 1541  ax-13 1542  ax-14 1543  ax-17 1545  ax-12o 1578  ax-10 1592  ax-9 1598  ax-4 1606  ax-16 1793  ax-ext 2064  ax-rep 3705  ax-sep 3715  ax-nul 3723  ax-pow 3759  ax-pr 3783  ax-un 4075  ax-inf2 6805  ax-cnex 8192  ax-resscn 8193  ax-1cn 8194  ax-icn 8195  ax-addcl 8196  ax-addrcl 8197  ax-mulcl 8198  ax-mulrcl 8199  ax-mulcom 8200  ax-addass 8201  ax-mulass 8202  ax-distr 8203  ax-i2m1 8204  ax-1ne0 8205  ax-1rid 8206  ax-rnegex 8207  ax-rrecex 8208  ax-cnre 8209  ax-pre-lttri 8210  ax-pre-lttrn 8211  ax-pre-ltadd 8212  ax-pre-mulgt0 8213  ax-pre-sup 8214
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 904  df-3an 905  df-tru 1268  df-ex 1456  df-sb 1754  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2070  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-ne 2201  df-nel 2202  df-ral 2295  df-rex 2296  df-reu 2297  df-rab 2298  df-v 2494  df-sbc 2668  df-csb 2750  df-dif 2813  df-un 2815  df-in 2817  df-ss 2821  df-pss 2823  df-nul 3089  df-if 3199  df-pw 3260  df-sn 3278  df-pr 3279  df-tp 3280  df-op 3281  df-uni 3439  df-int 3473  df-iun 3516  df-br 3601  df-opab 3655  df-mpt 3656  df-tr 3688  df-eprel 3870  df-id 3874  df-po 3879  df-so 3880  df-fr 3917  df-se 3918  df-we 3919  df-ord 3960  df-on 3961  df-lim 3962  df-suc 3963  df-om 4243  df-xp 4289  df-rel 4290  df-cnv 4291  df-co 4292  df-dm 4293  df-rn 4294  df-res 4295  df-ima 4296  df-fun 4297  df-fn 4298  df-f 4299  df-f1 4300  df-fo 4301  df-f1o 4302  df-fv 4303  df-iso 4304  df-ov 5357  df-oprab 5358  df-mpt2 5359  df-1st 5608  df-2nd 5609  df-iota 5762  df-recs 5835  df-rdg 5870  df-1o 5926  df-oadd 5930  df-er 6102  df-pm 6208  df-en 6289  df-dom 6290  df-sdom 6291  df-fin 6292  df-riota 6455  df-sup 6656  df-oi 6688  df-card 7034  df-pnf 8255  df-mnf 8256  df-xr 8257  df-ltxr 8258  df-le 8259  df-sub 8392  df-neg 8393  df-div 8621  df-n 8863  df-2 8910  df-3 8911  df-n0 9056  df-z 9108  df-uz 9305  df-q 9390  df-rp 9427  df-ico 9664  df-fz 9780  df-fl 9917  df-seq 10021  df-exp 10076  df-fac 10213  df-bc 10239  df-hash 10261  df-shft 10313  df-cj 10335  df-re 10336  df-im 10337  df-sqr 10433  df-abs 10434  df-limsup 10597  df-clim 10613  df-rlim 10614  df-sum 10749  df-ef 10922
Copyright terms: Public domain