HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem efcan 10976
Description: Cancellation of law for exponential function. Equation 27 of [Rudin] p. 164. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
efcan  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )

Proof of Theorem efcan
StepHypRef Expression
1 negcl 8414 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
2 efadd 10975 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  -u A
) ) )
31, 2mpdan 640 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) ) )
4 negid 8426 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
54fveq2d 5042 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( exp `  0
) )
6 ef0 10972 . . 3  |-  ( exp `  0 )  =  1
75, 6syl6eq 2109 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  1 )
83, 7eqtr3d 2095 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1517    e. wcel 1519   ` cfv 4264  (class class class)co 5353   CCcc 8145   0cc0 8147   1c1 8148    + caddc 8150    x. cmul 8152   -ucneg 8384   expce 10944
This theorem is referenced by:  efne0  10977  efneg  10978  efsub  10980  tanval3  11010  reeff1o  17517
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1439  ax-6 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-8 1521  ax-11 1522  ax-13 1523  ax-14 1524  ax-17 1526  ax-12o 1559  ax-10 1573  ax-9 1579  ax-4 1586  ax-16 1772  ax-ext 2043  ax-rep 3687  ax-sep 3697  ax-nul 3705  ax-pow 3741  ax-pr 3765  ax-un 4057  ax-inf2 6815  ax-cnex 8202  ax-resscn 8203  ax-1cn 8204  ax-icn 8205  ax-addcl 8206  ax-addrcl 8207  ax-mulcl 8208  ax-mulrcl 8209  ax-mulcom 8210  ax-addass 8211  ax-mulass 8212  ax-distr 8213  ax-i2m1 8214  ax-1ne0 8215  ax-1rid 8216  ax-rnegex 8217  ax-rrecex 8218  ax-cnre 8219  ax-pre-lttri 8220  ax-pre-lttrn 8221  ax-pre-ltadd 8222  ax-pre-mulgt0 8223  ax-pre-sup 8224
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 894  df-3an 895  df-tru 1256  df-ex 1444  df-sb 1733  df-eu 1955  df-mo 1956  df-clab 2049  df-cleq 2054  df-clel 2057  df-ne 2181  df-nel 2182  df-ral 2275  df-rex 2276  df-reu 2277  df-rab 2278  df-v 2474  df-sbc 2648  df-csb 2730  df-dif 2793  df-un 2795  df-in 2797  df-ss 2801  df-pss 2803  df-nul 3070  df-if 3178  df-pw 3239  df-sn 3257  df-pr 3258  df-tp 3259  df-op 3260  df-uni 3421  df-int 3455  df-iun 3498  df-br 3583  df-opab 3637  df-mpt 3638  df-tr 3670  df-eprel 3852  df-id 3856  df-po 3861  df-so 3862  df-fr 3899  df-se 3900  df-we 3901  df-ord 3942  df-on 3943  df-lim 3944  df-suc 3945  df-om 4220  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-fun 4274  df-fn 4275  df-f 4276  df-f1 4277  df-fo 4278  df-f1o 4279  df-fv 4280  df-iso 4281  df-ov 5356  df-oprab 5357  df-mpt2 5358  df-1st 5607  df-2nd 5608  df-iota 5762  df-recs 5835  df-rdg 5870  df-1o 5926  df-oadd 5930  df-er 6107  df-pm 6212  df-en 6294  df-dom 6295  df-sdom 6296  df-fin 6297  df-riota 6460  df-sup 6666  df-oi 6698  df-card 7044  df-pnf 8265  df-mnf 8266  df-xr 8267  df-ltxr 8268  df-le 8269  df-sub 8402  df-neg 8403  df-div 8631  df-n 8873  df-2 8920  df-3 8921  df-n0 9066  df-z 9118  df-uz 9315  df-q 9400  df-rp 9437  df-ico 9677  df-fz 9793  df-fl 9931  df-seq 10035  df-exp 10090  df-fac 10228  df-bc 10254  df-hash 10276  df-shft 10341  df-cj 10363  df-re 10364  df-im 10365  df-sqr 10461  df-abs 10462  df-limsup 10625  df-clim 10641  df-rlim 10642  df-sum 10777  df-ef 10950
Copyright terms: Public domain