HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem efcan 9384
Description: Cancellation of law for exponential function. Equation 27 of [Rudin] p. 164.
Assertion
Ref Expression
efcan |- (A e. CC -> ((exp` A) x. (exp` -uA)) = 1)

Proof of Theorem efcan
StepHypRef Expression
1 negcl 7252 . . 3 |- (A e. CC -> -uA e. CC)
2 efadd 9383 . . 3 |- ((A e. CC /\ -uA e. CC) -> (exp` (A + -uA)) = ((exp` A) x. (exp` -uA)))
31, 2mpdan 666 . 2 |- (A e. CC -> (exp` (A + -uA)) = ((exp` A) x. (exp` -uA)))
4 negid 7264 . . . 4 |- (A e. CC -> (A + -uA) = 0)
54fveq2d 4685 . . 3 |- (A e. CC -> (exp` (A + -uA)) = (exp`
0))
6 ef0 9380 . . 3 |- (exp` 0) = 1
75, 6syl6eq 2001 . 2 |- (A e. CC -> (exp` (A + -uA)) = 1)
83, 7eqtr3d 1987 1 |- (A e. CC -> ((exp` A) x. (exp` -uA)) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1449   e. wcel 1451  ` cfv 4016  (class class class)co 4931  CCcc 6996  0cc0 6998  1c1 6999   + caddc 7001   x. cmul 7003  -ucneg 7222  expce 9352
This theorem is referenced by:  efne0 9385  efneg 9386  efsub 9388  reeff1o 12588
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1367  ax-6 1368  ax-7 1369  ax-gen 1370  ax-8 1453  ax-10 1454  ax-11 1455  ax-12 1456  ax-13 1457  ax-14 1458  ax-17 1465  ax-9 1480  ax-4 1486  ax-16 1664  ax-15 1827  ax-ext 1935  ax-rep 3459  ax-sep 3469  ax-nul 3478  ax-pow 3514  ax-pr 3538  ax-un 3808  ax-inf2 6071  ax-resscn 7052  ax-1cn 7053  ax-icn 7054  ax-addcl 7055  ax-addrcl 7056  ax-mulcl 7057  ax-mulrcl 7058  ax-mulcom 7059  ax-addass 7060  ax-mulass 7061  ax-distr 7062  ax-i2m1 7063  ax-1ne0 7064  ax-1rid 7065  ax-rnegex 7066  ax-rrecex 7067  ax-cnre 7068  ax-pre-lttri 7069  ax-pre-lttrn 7070  ax-pre-ltadd 7071  ax-pre-mulgt0 7072  ax-pre-sup 7073
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 378  df-an 379  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1345  df-ex 1372  df-sb 1626  df-eu 1853  df-mo 1854  df-clab 1941  df-cleq 1946  df-clel 1949  df-ne 2073  df-nel 2074  df-ral 2166  df-rex 2167  df-reu 2168  df-rab 2169  df-v 2360  df-sbc 2525  df-csb 2600  df-dif 2660  df-un 2662  df-in 2664  df-ss 2666  df-pss 2668  df-nul 2922  df-if 3023  df-pw 3081  df-sn 3096  df-pr 3097  df-tp 3099  df-op 3100  df-uni 3229  df-int 3263  df-iun 3301  df-br 3374  df-opab 3428  df-tr 3443  df-eprel 3621  df-id 3624  df-po 3629  df-so 3643  df-fr 3662  df-we 3678  df-ord 3694  df-on 3695  df-lim 3696  df-suc 3697  df-om 3971  df-xp 4018  df-rel 4019  df-cnv 4020  df-co 4021  df-dm 4022  df-rn 4023  df-res 4024  df-ima 4025  df-fun 4026  df-fn 4027  df-f 4028  df-f1 4029  df-fo 4030  df-f1o 4031  df-fv 4032  df-iso 4033  df-ov 4933  df-oprab 4934  df-mpt 5068  df-mpt2 5069  df-1st 5166  df-2nd 5167  df-iota 5270  df-rdg 5356  df-1o 5393  df-oadd 5397  df-er 5530  df-map 5618  df-en 5675  df-dom 5676  df-sdom 5677  df-fin 5678  df-riota 5818  df-sup 5992  df-card 6236  df-pnf 7111  df-mnf 7112  df-xr 7113  df-ltxr 7114  df-le 7115  df-sub 7240  df-neg 7242  df-div 7466  df-n 7704  df-2 7750  df-3 7751  df-n0 7874  df-z 7918  df-uz 8038  df-q 8120  df-rp 8245  df-ico 8282  df-fz 8389  df-fl 8481  df-seq 8571  df-exp 8623  df-fac 8756  df-bc 8781  df-hash 8802  df-shft 8835  df-cj 8857  df-re 8858  df-im 8859  df-sqr 8951  df-abs 8952  df-limsup 9105  df-clim 9119  df-sum 9196  df-ef 9358
Copyright terms: Public domain