HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem efcan 11559
Description: Cancellation of law for exponential function. Equation 27 of [Rudin] p. 164. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
efcan  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )

Proof of Theorem efcan
StepHypRef Expression
1 negcl 8465 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
2 efadd 11558 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  -u A
) ) )
31, 2mpdan 642 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) ) )
4 negid 8507 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
54fveq2d 5048 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( exp `  0
) )
6 ef0 11555 . . 3  |-  ( exp `  0 )  =  1
75, 6syl6eq 2112 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  1 )
83, 7eqtr3d 2098 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1520    e. wcel 1522   ` cfv 4268  (class class class)co 5360   CCcc 8156   0cc0 8158   1c1 8159    + caddc 8161    x. cmul 8163   -ucneg 8451   expce 11526
This theorem is referenced by:  efne0  11560  efneg  11561  efsub  11563  tanval3  11597  reeff1o  18411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1442  ax-6 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-8 1524  ax-11 1525  ax-13 1526  ax-14 1527  ax-17 1529  ax-12o 1562  ax-10 1576  ax-9 1582  ax-4 1589  ax-16 1775  ax-ext 2046  ax-rep 3691  ax-sep 3701  ax-nul 3709  ax-pow 3745  ax-pr 3769  ax-un 4061  ax-inf2 6825  ax-cnex 8213  ax-resscn 8214  ax-1cn 8215  ax-icn 8216  ax-addcl 8217  ax-addrcl 8218  ax-mulcl 8219  ax-mulrcl 8220  ax-mulcom 8221  ax-addass 8222  ax-mulass 8223  ax-distr 8224  ax-i2m1 8225  ax-1ne0 8226  ax-1rid 8227  ax-rnegex 8228  ax-rrecex 8229  ax-cnre 8230  ax-pre-lttri 8231  ax-pre-lttrn 8232  ax-pre-ltadd 8233  ax-pre-mulgt0 8234  ax-pre-sup 8235  ax-addf 8236  ax-mulf 8237
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1259  df-ex 1447  df-sb 1736  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2052  df-cleq 2057  df-clel 2060  df-ne 2184  df-nel 2185  df-ral 2278  df-rex 2279  df-reu 2280  df-rab 2281  df-v 2477  df-sbc 2651  df-csb 2733  df-dif 2796  df-un 2798  df-in 2800  df-ss 2804  df-pss 2806  df-nul 3073  df-if 3182  df-pw 3243  df-sn 3261  df-pr 3262  df-tp 3263  df-op 3264  df-uni 3425  df-int 3459  df-iun 3502  df-br 3587  df-opab 3641  df-mpt 3642  df-tr 3674  df-eprel 3856  df-id 3860  df-po 3865  df-so 3866  df-fr 3903  df-se 3904  df-we 3905  df-ord 3946  df-on 3947  df-lim 3948  df-suc 3949  df-om 4224  df-xp 4270  df-rel 4271  df-cnv 4272  df-co 4273  df-dm 4274  df-rn 4275  df-res 4276  df-ima 4277  df-fun 4278  df-fn 4279  df-f 4280  df-f1 4281  df-fo 4282  df-f1o 4283  df-fv 4284  df-iso 4285  df-ov 5363  df-oprab 5364  df-mpt2 5365  df-1st 5614  df-2nd 5615  df-iota 5770  df-recs 5843  df-rdg 5878  df-1o 5934  df-oadd 5938  df-er 6115  df-pm 6220  df-en 6302  df-dom 6303  df-sdom 6304  df-fin 6305  df-riota 6468  df-sup 6676  df-oi 6708  df-card 7054  df-pnf 8287  df-mnf 8288  df-xr 8289  df-ltxr 8290  df-le 8291  df-sub 8452  df-neg 8453  df-div 8816  df-n 9125  df-2 9182  df-3 9183  df-n0 9335  df-z 9394  df-uz 9600  df-rp 9724  df-ico 10030  df-fz 10146  df-fzo 10234  df-fl 10285  df-seq 10402  df-exp 10460  df-fac 10643  df-bc 10670  df-hash 10692  df-shft 10757  df-cj 10779  df-re 10780  df-im 10781  df-sqr 10915  df-abs 10916  df-limsup 11136  df-clim 11153  df-rlim 11154  df-sum 11350  df-ef 11532
Copyright terms: Public domain