HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem efcan 9449
Description: Cancellation of law for exponential function. Equation 27 of [Rudin] p. 164.
Assertion
Ref Expression
efcan |- (A e. CC -> ((exp` A) x. (exp` -uA)) = 1)

Proof of Theorem efcan
StepHypRef Expression
1 negcl 7261 . . 3 |- (A e. CC -> -uA e. CC)
2 efadd 9448 . . 3 |- ((A e. CC /\ -uA e. CC) -> (exp` (A + -uA)) = ((exp` A) x. (exp` -uA)))
31, 2mpdan 652 . 2 |- (A e. CC -> (exp` (A + -uA)) = ((exp` A) x. (exp` -uA)))
4 negid 7273 . . . 4 |- (A e. CC -> (A + -uA) = 0)
54fveq2d 4681 . . 3 |- (A e. CC -> (exp` (A + -uA)) = (exp`
0))
6 ef0 9445 . . 3 |- (exp` 0) = 1
75, 6syl6eq 1986 . 2 |- (A e. CC -> (exp` (A + -uA)) = 1)
83, 7eqtr3d 1972 1 |- (A e. CC -> ((exp` A) x. (exp` -uA)) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1434   e. wcel 1436  ` cfv 4008  (class class class)co 4927  CCcc 7005  0cc0 7007  1c1 7008   + caddc 7010   x. cmul 7012  -ucneg 7231  expce 9417
This theorem is referenced by:  efne0 9450  efneg 9451  efsub 9453  reeff1o 12664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1351  ax-6 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-12 1441  ax-13 1442  ax-14 1443  ax-17 1450  ax-9 1465  ax-4 1471  ax-16 1649  ax-15 1812  ax-ext 1920  ax-rep 3449  ax-sep 3459  ax-nul 3468  ax-pow 3504  ax-pr 3528  ax-un 3800  ax-inf2 6079  ax-resscn 7061  ax-1cn 7062  ax-icn 7063  ax-addcl 7064  ax-addrcl 7065  ax-mulcl 7066  ax-mulrcl 7067  ax-mulcom 7068  ax-addass 7069  ax-mulass 7070  ax-distr 7071  ax-i2m1 7072  ax-1ne0 7073  ax-1rid 7074  ax-rnegex 7075  ax-rrecex 7076  ax-cnre 7077  ax-pre-lttri 7078  ax-pre-lttrn 7079  ax-pre-ltadd 7080  ax-pre-mulgt0 7081  ax-pre-sup 7082
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 362  df-an 363  df-3or 922  df-3an 923  df-tru 1329  df-ex 1356  df-sb 1611  df-eu 1838  df-mo 1839  df-clab 1926  df-cleq 1931  df-clel 1934  df-ne 2058  df-nel 2059  df-ral 2151  df-rex 2152  df-reu 2153  df-rab 2154  df-v 2345  df-sbc 2510  df-csb 2585  df-dif 2645  df-un 2647  df-in 2649  df-ss 2651  df-pss 2653  df-nul 2907  df-if 3010  df-pw 3068  df-sn 3085  df-pr 3086  df-tp 3087  df-op 3088  df-uni 3219  df-int 3253  df-iun 3291  df-br 3364  df-opab 3418  df-tr 3433  df-eprel 3613  df-id 3616  df-po 3621  df-so 3635  df-fr 3654  df-we 3670  df-ord 3686  df-on 3687  df-lim 3688  df-suc 3689  df-om 3963  df-xp 4010  df-rel 4011  df-cnv 4012  df-co 4013  df-dm 4014  df-rn 4015  df-res 4016  df-ima 4017  df-fun 4018  df-fn 4019  df-f 4020  df-f1 4021  df-fo 4022  df-f1o 4023  df-fv 4024  df-iso 4025  df-ov 4929  df-oprab 4930  df-mpt 5065  df-mpt2 5066  df-1st 5174  df-2nd 5175  df-iota 5278  df-rdg 5364  df-1o 5401  df-oadd 5405  df-er 5538  df-map 5626  df-pm 5627  df-en 5683  df-dom 5684  df-sdom 5685  df-fin 5686  df-riota 5826  df-sup 6000  df-card 6243  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7249  df-neg 7251  df-div 7475  df-n 7714  df-2 7760  df-3 7761  df-n0 7884  df-z 7928  df-uz 8048  df-q 8130  df-rp 8255  df-ico 8292  df-fz 8400  df-fl 8493  df-seq 8585  df-exp 8637  df-fac 8770  df-bc 8795  df-hash 8816  df-shft 8849  df-cj 8871  df-re 8872  df-im 8873  df-sqr 8965  df-abs 8966  df-limsup 9118  df-clim 9134  df-rlim 9135  df-sum 9260  df-ef 9423
Copyright terms: Public domain