MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcan Unicode version

Theorem efcan 11613
Description: Cancellation of law for exponential function. Equation 27 of [Rudin] p. 164. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
efcan  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )

Proof of Theorem efcan
StepHypRef Expression
1 negcl 8511 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
2 efadd 11612 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  -u A
) ) )
31, 2mpdan 644 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) ) )
4 negid 8553 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
54fveq2d 5092 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  ( exp `  0
) )
6 ef0 11609 . . 3  |-  ( exp `  0 )  =  1
75, 6syl6eq 2148 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( A  +  -u A ) )  =  1 )
83, 7eqtr3d 2134 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1531    e. wcel 1533   ` cfv 4312  (class class class)co 5404   CCcc 8200   0cc0 8202   1c1 8203    + caddc 8205    x. cmul 8207   -ucneg 8497   expce 11580
This theorem is referenced by:  efne0  11614  efneg  11615  efsub  11617  tanval3  11651  reeff1o  18466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1452  ax-6 1453  ax-7 1454  ax-gen 1455  ax-8 1535  ax-11 1536  ax-13 1537  ax-14 1538  ax-17 1540  ax-12o 1574  ax-10 1588  ax-9 1594  ax-4 1601  ax-16 1787  ax-ext 2082  ax-rep 3735  ax-sep 3745  ax-nul 3753  ax-pow 3789  ax-pr 3813  ax-un 4105  ax-inf2 6869  ax-cnex 8257  ax-resscn 8258  ax-1cn 8259  ax-icn 8260  ax-addcl 8261  ax-addrcl 8262  ax-mulcl 8263  ax-mulrcl 8264  ax-mulcom 8265  ax-addass 8266  ax-mulass 8267  ax-distr 8268  ax-i2m1 8269  ax-1ne0 8270  ax-1rid 8271  ax-rnegex 8272  ax-rrecex 8273  ax-cnre 8274  ax-pre-lttri 8275  ax-pre-lttrn 8276  ax-pre-ltadd 8277  ax-pre-mulgt0 8278  ax-pre-sup 8279  ax-addf 8280  ax-mulf 8281
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 901  df-3an 902  df-tru 1265  df-ex 1457  df-sb 1748  df-eu 1970  df-mo 1971  df-clab 2088  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-ne 2220  df-nel 2221  df-ral 2315  df-rex 2316  df-reu 2317  df-rab 2318  df-v 2514  df-sbc 2688  df-csb 2770  df-dif 2833  df-un 2835  df-in 2837  df-ss 2841  df-pss 2843  df-nul 3111  df-if 3221  df-pw 3282  df-sn 3300  df-pr 3301  df-tp 3302  df-op 3303  df-uni 3469  df-int 3503  df-iun 3546  df-br 3631  df-opab 3685  df-mpt 3686  df-tr 3718  df-eprel 3900  df-id 3904  df-po 3909  df-so 3910  df-fr 3947  df-se 3948  df-we 3949  df-ord 3990  df-on 3991  df-lim 3992  df-suc 3993  df-om 4268  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-fun 4322  df-fn 4323  df-f 4324  df-f1 4325  df-fo 4326  df-f1o 4327  df-fv 4328  df-iso 4329  df-ov 5407  df-oprab 5408  df-mpt2 5409  df-1st 5658  df-2nd 5659  df-iota 5814  df-recs 5887  df-rdg 5922  df-1o 5978  df-oadd 5982  df-er 6159  df-pm 6264  df-en 6346  df-dom 6347  df-sdom 6348  df-fin 6349  df-riota 6512  df-sup 6720  df-oi 6752  df-card 7098  df-pnf 8333  df-mnf 8334  df-xr 8335  df-ltxr 8336  df-le 8337  df-sub 8498  df-neg 8499  df-div 8863  df-n 9172  df-2 9229  df-3 9230  df-n0 9388  df-z 9447  df-uz 9653  df-rp 9777  df-ico 10083  df-fz 10199  df-fzo 10287  df-fl 10338  df-seq 10455  df-exp 10513  df-fac 10696  df-bc 10723  df-hash 10745  df-shft 10810  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-sqr 10968  df-abs 10969  df-limsup 11190  df-clim 11207  df-rlim 11208  df-sum 11404  df-ef 11586
  Copyright terms: Public domain W3C validator