Theorem efcan 9028

Description: Cancellation of law for exponential function. Equation 27 of [Rudin] p. 164.

Assertion

Ref	Expression
efcan	|- (A e. CC -> ((exp` A) x. (exp` -uA)) = 1)

Proof of Theorem efcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 7021	. . 3 |- (A e. CC -> -uA e. CC)
2		efadd 9027	. . 3 |- ((A e. CC /\ -uA e. CC) -> (exp` (A + -uA)) = ((exp` A) x. (exp` -uA)))
3	1, 2	mpdan 673	. 2 |- (A e. CC -> (exp` (A + -uA)) = ((exp` A) x. (exp` -uA)))
4		negid 7032	. . . 4 |- (A e. CC -> (A + -uA) = 0)
5	4	fveq2d 4769	. . 3 |- (A e. CC -> (exp` (A + -uA)) = (exp` 0))
6		ef0 8995	. . 3 |- (exp` 0) = 1
7	5, 6	syl6eq 2193	. 2 |- (A e. CC -> (exp` (A + -uA)) = 1)
8	3, 7	eqtr3d 2175	1 |- (A e. CC -> ((exp` A) x. (exp` -uA)) = 1)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1586   e. wcel 1588  ` cfv 4131  (class class class)co 4981  CCcc 6750  0cc0 6752  1c1 6753   + caddc 6755   x. cmul 6757  -ucneg 6990  expce 8953

This theorem is referenced by:  efne0 9029  efsub 9031  efgt0i 9067  reeff1o 9089

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1590  ax-7 1592  ax-gen 1593  ax-8 1594  ax-9 1595  ax-10 1596  ax-11 1597  ax-12 1598  ax-13 1599  ax-14 1600  ax-17 1605  ax-4 1608  ax-5o 1610  ax-6o 1613  ax-9o 1763  ax-10o 1781  ax-16 1854  ax-11o 1864  ax-ext 2123  ax-rep 3596  ax-sep 3606  ax-nul 3613  ax-pow 3649  ax-pr 3687  ax-un 3929  ax-inf2 5964

This theorem depends on definitions:  df-bi 220  df-or 338  df-an 339  df-3or 1103  df-3an 1104  df-ex 1616  df-sb 1816  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2129  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-ne 2268  df-nel 2269  df-ral 2359  df-rex 2360  df-reu 2361  df-rab 2362  df-v 2540  df-sbc 2700  df-csb 2774  df-dif 2830  df-un 2832  df-in 2834  df-ss 2836  df-pss 2838  df-nul 3083  df-if 3181  df-pw 3229  df-sn 3242  df-pr 3243  df-tp 3245  df-op 3246  df-uni 3367  df-int 3401  df-iun 3438  df-br 3508  df-opab 3566  df-tr 3580  df-eprel 3744  df-id 3747  df-po 3752  df-so 3764  df-fr 3782  df-we 3798  df-ord 3814  df-on 3815  df-lim 3816  df-suc 3817  df-om 4086  df-xp 4133  df-rel 4134  df-cnv 4135  df-co 4136  df-dm 4137  df-rn 4138  df-res 4139  df-ima 4140  df-fun 4141  df-fn 4142  df-f 4143  df-f1 4144  df-fo 4145  df-f1o 4146  df-fv 4147  df-opr 4983  df-oprab 4984  df-mpt 5099  df-1st 5126  df-2nd 5127  df-iota 5219  df-rdg 5304  df-1o 5344  df-oadd 5346  df-omul 5347  df-er 5479  df-ec 5481  df-qs 5484  df-en 5588  df-dom 5589  df-sdom 5590  df-undef 5725  df-riota 5729  df-sup 5888  df-ni 6518  df-pli 6519  df-mi 6520  df-lti 6521  df-plpq 6553  df-mpq 6554  df-enq 6555  df-nq 6556  df-plq 6557  df-mq 6558  df-rq 6559  df-ltq 6560  df-1q 6561  df-np 6604  df-1p 6605  df-plp 6606  df-mp 6607  df-ltp 6608  df-plpr 6682  df-mpr 6683  df-enr 6684  df-nr 6685  df-plr 6686  df-mr 6687  df-ltr 6688  df-0r 6689  df-1r 6690  df-m1r 6691  df-c 6758  df-0 6759  df-1 6760  df-i 6761  df-r 6762  df-plus 6763  df-mul 6764  df-lt 6765  df-pnf 6846  df-mnf 6847  df-xr 6848  df-ltxr 6849  df-le 6850  df-sub 7009  df-neg 7011  df-div 7223  df-n 7441  df-2 7487  df-3 7488  df-4 7489  df-n0 7649  df-z 7686  df-fl 7809  df-uz 7934  df-fz 7999  df-seq1 8094  df-shft 8129  df-seqz 8151  df-seq0 8152  df-exp 8196  df-sqr 8304  df-re 8385  df-im 8386  df-cj 8387  df-abs 8388  df-fac 8569  df-bc 8594  df-clim 8631  df-sum 8636  df-ef 8958

Copyright terms: Public domain