Theorem efeult 7399

Description: Eulerian representation of the complex exponential. (Suggested by Jeffrey Hankins, 3-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
efeult	|- (A e. CC -> (exp` A) = ((exp` (Re` A)) x. ((cos` (Im` A)) + (i x. (sin` (Im` A))))))

Proof of Theorem efeult

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replimtOLD 6701	. . . 4 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + ((Im` A) x. i)))
2		imclt 6697	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
3	2	recnd 5295	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (Im` A) e. CC)
4		axicn 5250	. . . . . . 7 |- i e. CC
5		axmulcom 5256	. . . . . . 7 |- ((i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (i x. (Im` A)) = ((Im` A) x. i))
6	4, 5	mpan 694	. . . . . 6 |- ((Im` A) e. CC -> (i x. (Im` A)) = ((Im` A) x. i))
7	3, 6	syl 10	. . . . 5 |- (A e. CC -> (i x. (Im` A)) = ((Im` A) x. i))
8	7	opreq2d 3967	. . . 4 |- (A e. CC -> ((Re` A) + (i x. (Im` A))) = ((Re` A) + ((Im` A) x. i)))
9	1, 8	eqtr4d 1507	. . 3 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + (i x. (Im` A))))
10	9	fveq2d 3719	. 2 |- (A e. CC -> (exp` A) = (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))))
11		efaddt 7317	. . 3 |- (((Re` A) e. CC /\ (i x. (Im` A)) e. CC) -> (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))) = ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))))
12		reclt 6696	. . . 4 |- (A e. CC -> (Re` A) e. RR)
13	12	recnd 5295	. . 3 |- (A e. CC -> (Re` A) e. CC)
14		axmulcl 5253	. . . . 5 |- ((i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (i x. (Im` A)) e. CC)
15	4, 14	mpan 694	. . . 4 |- ((Im` A) e. CC -> (i x. (Im` A)) e. CC)
16	3, 15	syl 10	. . 3 |- (A e. CC -> (i x. (Im` A)) e. CC)
17	11, 13, 16	sylanc 471	. 2 |- (A e. CC -> (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))) = ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))))
18		efivalt 7397	. . . 4 |- ((Im` A) e. CC -> (exp` (i x. (Im` A))) = ((cos` (Im` A)) + (i x. (sin` (Im` A)))))
19	3, 18	syl 10	. . 3 |- (A e. CC -> (exp` (i x. (Im` A))) = ((cos` (Im` A)) + (i x. (sin` (Im` A)))))
20	19	opreq2d 3967	. 2 |- (A e. CC -> ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))) = ((exp` (Re` A)) x. ((cos` (Im` A)) + (i x. (sin` (Im` A))))))
21	10, 17, 20	3eqtrd 1508	1 |- (A e. CC -> (exp` A) = ((exp` (Re` A)) x. ((cos` (Im` A)) + (i x. (sin` (Im` A))))))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 954   e. wcel 956  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  ici 5216   + caddc 5217   x. cmul 5219  Recre 6686  Imcim 6687  expce 7243  sincsin 7245  cosccos 7246

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-seq0 6474  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-fac 6877  df-bc 6902  df-clim 6921  df-sum 6926  df-ef 7248  df-sin 7250  df-cos 7251

Copyright terms: Public domain