Theorem eff1oi 8730

Description: The exponential function maps the set S, of complex numbers with imaginary part in a closed-below, open-above real interval of length 2 x. pi starting at A, one-to-one onto the nonzero complex numbers. A would normally be fixed at 0 or -upi, according to choice of principal domain for the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
eff1i.1	|- A e. RR
eff1i.2	|- D = (A[,)(A + (2 x. pi)))
eff1i.3	|- S = {v e. CC | (Im` v) e. D}

Assertion

Ref	Expression
eff1oi	|- (exp |` S):S-1-1-onto->(CC \ {0})

Distinct variable groups:   v,A   v,D

Proof of Theorem eff1oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 3194	. 2 |- ((exp |` S):S-1-1-onto->(CC \ {0}) <-> ((exp |` S):S-1-1->(CC \ {0}) /\ (exp |` S):S-onto->(CC \ {0})))
2		eff1i.1	. . 3 |- A e. RR
3		eff1i.2	. . 3 |- D = (A[,)(A + (2 x. pi)))
4		eff1i.3	. . 3 |- S = {v e. CC | (Im` v) e. D}
5		eqid 1475	. . 3 |- {<.z, w>. | (z e. D /\ w = (exp` (i x. z)))} = {<.z, w>. | (z e. D /\ w = (exp` (i x. z)))}
6		eqid 1475	. . 3 |- {v e. CC | (abs` v) = 1} = {v e. CC | (abs` v) = 1}
7	2, 3, 4, 5, 6	eff1i 8728	. 2 |- (exp |` S):S-1-1->(CC \ {0})
8	2, 3, 4, 5, 6	effoi 8729	. 2 |- (exp |` S):S-onto->(CC \ {0})
9	1, 7, 8	mpbir2an 729	1 |- (exp |` S):S-1-1-onto->(CC \ {0})

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  {crab 1647   \ cdif 2042  {csn 2407  {copab 2663   |` cres 3169  -1-1->wf1 3176  -onto->wfo 3177  -1-1-onto->wf1o 3178  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  RRcr 5220  0cc0 5221  1c1 5222  ici 5223   + caddc 5224   x. cmul 5226  2c2 5922  [,)cico 6314  Imcim 6700  abscabs 6702  expce 7271  picpi 7275

This theorem is referenced by:  eff1o 8732

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-reg 4580  ax-inf2 4612  ax-ac 4731

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-iin 2566  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-map 4321  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-r1 4630  df-rank 4631  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-3 5932  df-4 5933  df-5 5934  df-6 5935  df-7 5936  df-8 5937  df-9 5938  df-n0 6061  df-z 6097  df-fl 6186  df-q 6211  df-rp 6236  df-seq1 6263  df-shft 6296  df-ioo 6316  df-ioc 6317  df-ico 6318  df-icc 6319  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seqz 6483  df-seq0 6484  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-fac 6898  df-bc 6923  df-clim 6943  df-sum 6948  df-cncf 7234  df-ef 7276  df-sin 7278  df-cos 7279  df-pi 7280  df-top 7571  df-cn 7733  df-cnp 7734  df-met 7772  df-bl 7774  df-opn 7775  df-lm 7905  df-grp 8020  df-gid 8021  df-ginv 8022  df-gdiv 8023  df-abl 8084  df-subg 8100

Copyright terms: Public domain