Theorem effsumle 7397

Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function of a nonnegative real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
effsumle.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
effsumle.2	|- A e. RR
effsumle.3	|- N e. NN0

Assertion

Ref	Expression
effsumle	|- (0 <_ A -> (( + seq0 F)` N) <_ (exp` A))

Distinct variable group:   A,j,y

Proof of Theorem effsumle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divge0t 5856	. . . . . . 7 |- ((((A^k) e. RR /\ 0 <_ (A^k)) /\ ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k))) -> 0 <_ ((A^k) / (!` k)))
2		effsumle.2	. . . . . . . . 9 |- A e. RR
3		reexpclt 6580	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (A^k) e. RR)
4	2, 3	mpan 695	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (A^k) e. RR)
5	4	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (A^k) e. RR)
6		expge0t 6591	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (A^k))
7	2, 6	mp3an1 903	. . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (A^k))
8		facclt 6940	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
9		nnret 5929	. . . . . . . . 9 |- ((!` k) e. NN -> (!` k) e. RR)
10	8, 9	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. RR)
11	10	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (!` k) e. RR)
12		nngt0t 5946	. . . . . . . . 9 |- ((!` k) e. NN -> 0 < (!` k))
13	8, 12	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> 0 < (!` k))
14	13	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 < (!` k))
15	1, 5, 7, 11, 14	syl2anc 472	. . . . . 6 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ ((A^k) / (!` k)))
16		effsumle.1	. . . . . . . 8 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
17	16	eftval 7316	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
18	17	adantr 389	. . . . . 6 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
19	15, 18	breqtrrd 2641	. . . . 5 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (F` k))
20		elnn0uz 6441	. . . . 5 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>` 0))
21	19, 20	sylanbr 450	. . . 4 |- ((k e. (ZZ>` 0) /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (F` k))
22	21	expcom 374	. . 3 |- (0 <_ A -> (k e. (ZZ>` 0) -> 0 <_ (F` k)))
23	22	r19.21aiv 1713	. 2 |- (0 <_ A -> A.k e. (ZZ>` 0)0 <_ (F` k))
24		effsumle.3	. . . . 5 |- N e. NN0
25		nn0uz 6438	. . . . 5 |- NN0 = (ZZ>` 0)
26	24, 25	eleqtr 1546	. . . 4 |- N e. (ZZ>` 0)
27		nn0ex 6105	. . . . . 6 |- NN0 e. V
28	27, 16	fopabex2 3612	. . . . 5 |- F e. V
29		fvex 3732	. . . . 5 |- (exp` A) e. V
30		addex 5317	. . . . . . 7 |- + e. V
31	30, 28	seq0seqz 6542	. . . . . 6 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
32	2	recn 5314	. . . . . . 7 |- A e. CC
33	16	efcvg 7314	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> ( + seq0 F) ~~> (exp` A))
34	32, 33	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( + seq0 F) ~~> (exp` A)
35	31, 34	eqbrtrr 2636	. . . . 5 |- (<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A)
36		reeftclt 7374	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ j e. NN0) -> ((A^j) / (!` j)) e. RR)
37	2, 36	mpan 695	. . . . . . 7 |- (j e. NN0 -> ((A^j) / (!` j)) e. RR)
38	16, 37	fopab 3827	. . . . . 6 |- F:NN0-->RR
39		feq2 3621	. . . . . . 7 |- (NN0 = (ZZ>` 0) -> (F:NN0-->RR <-> F:(ZZ>` 0)-->RR))
40	25, 39	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (F:NN0-->RR <-> F:(ZZ>` 0)-->RR)
41	38, 40	mpbi 189	. . . . 5 |- F:(ZZ>` 0)-->RR
42	28, 29, 35, 41	climserzle 7147	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (ZZ>` 0)0 <_ (F` k)) -> ((<.0, + >. seq F)` N) <_ (exp` A))
43	26, 42	mpan 695	. . 3 |- (A.k e. (ZZ>` 0)0 <_ (F` k) -> ((<.0, + >. seq F)` N) <_ (exp` A))
44	31	fveq1i 3725	. . 3 |- (( + seq0 F)` N) = ((<.0, + >. seq F)` N)
45	43, 44	syl5eqbr 2648	. 2 |- (A.k e. (ZZ>` 0)0 <_ (F` k) -> (( + seq0 F)` N) <_ (exp` A))
46	23, 45	syl 10	1 |- (0 <_ A -> (( + seq0 F)` N) <_ (exp` A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   + caddc 5237   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296  NN0cn0 5297   < clt 5486  ZZ>cuz 6417   seq cseqz 6531   seq0 cseq0 6532  ^cexp 6568  !cfa 6931   ~~> cli 6974  expce 7293

This theorem is referenced by:  efge1 7401  efge1p 7402

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain