MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi0 Unicode version

Theorem efgi0 15029
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgi0  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
)

Proof of Theorem efgi0
StepHypRef Expression
1 0ex 4150 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
21prid1 3734 . . . . 5  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
3 df2o3 6492 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
42, 3eleqtrri 2356 . . . 4  |-  (/)  e.  2o
5 efgval.w . . . . 5  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
6 efgval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
75, 6efgi 15028 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  (/)  e.  2o ) )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >. ) )
84, 7mpanr2 665 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. "> >.
) )
983impa 1146 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >. ) )
10 tru 1312 . . . 4  |-  T.
11 eqidd 2284 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  (/) >.  =  <. J ,  (/) >.
)
12 dif0 3524 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
\  (/) )  =  1o
1312opeq2i 3800 . . . . . 6  |-  <. J , 
( 1o  \  (/) ) >.  =  <. J ,  1o >.
1413a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >.  =  <. J ,  1o >. )
1511, 14s2eqd 11512 . . . 4  |-  (  T. 
->  <" <. J ,  (/)
>. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. ">  =  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> )
16 oteq3 3807 . . . 4  |-  ( <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. ">  =  <" <. J ,  (/)
>. <. J ,  1o >. ">  ->  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
1710, 15, 16mp2b 9 . . 3  |-  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >.
1817oveq2i 5869 . 2  |-  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. "> >.
)  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
199, 18syl6breq 4062 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149   (/)c0 3455   {cpr 3641   <.cop 3643   <.cotp 3644   class class class wbr 4023    _I cid 4304    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472   2oc2o 6473   0cc0 8737   ...cfz 10782   #chash 11337  Word cword 11403   splice csplice 11407   <"cs2 11491   ~FG cefg 15015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-substr 11412  df-splice 11413  df-s2 11498  df-efg 15018
  Copyright terms: Public domain W3C validator