MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi1 Unicode version

Theorem efgi1 15123
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgi1  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  (/)
>. "> >. )
)

Proof of Theorem efgi1
StepHypRef Expression
1 1on 6570 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
21elexi 2873 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
32prid2 3811 . . . . 5  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
4 df2o3 6576 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
53, 4eleqtrri 2431 . . . 4  |-  1o  e.  2o
6 efgval.w . . . . 5  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
7 efgval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
86, 7efgi 15121 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  1o  e.  2o ) )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J , 
( 1o  \  1o ) >. "> >. )
)
95, 8mpanr2 665 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. "> >. )
)
1093impa 1146 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J , 
( 1o  \  1o ) >. "> >. )
)
11 tru 1321 . . . 4  |-  T.
12 eqidd 2359 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  1o >.  =  <. J ,  1o >. )
13 difid 3598 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
\  1o )  =  (/)
1413opeq2i 3879 . . . . . 6  |-  <. J , 
( 1o  \  1o ) >.  =  <. J ,  (/)
>.
1514a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  ( 1o  \  1o )
>.  =  <. J ,  (/)
>. )
1612, 15s2eqd 11602 . . . 4  |-  (  T. 
->  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. ">  =  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. "> )
17 oteq3 3886 . . . 4  |-  ( <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. ">  =  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. ">  -> 
<. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. "> >.  =  <. N ,  N ,  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. "> >.
)
1811, 16, 17mp2b 9 . . 3  |-  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J , 
( 1o  \  1o ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. "> >.
1918oveq2i 5953 . 2  |-  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. "> >. )  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  (/)
>. "> >. )
2010, 19syl6breq 4141 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  (/)
>. "> >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1316    = wceq 1642    e. wcel 1710    \ cdif 3225   (/)c0 3531   {cpr 3717   <.cop 3719   <.cotp 3720   class class class wbr 4102    _I cid 4383   Oncon0 4471    X. cxp 4766   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   1oc1o 6556   2oc2o 6557   0cc0 8824   ...cfz 10871   #chash 11427  Word cword 11493   splice csplice 11497   <"cs2 11581   ~FG cefg 15108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-ot 3726  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-card 7659  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-hash 11428  df-word 11499  df-concat 11500  df-s1 11501  df-substr 11502  df-splice 11503  df-s2 11588  df-efg 15111
  Copyright terms: Public domain W3C validator