MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi1 Unicode version

Theorem efgi1 15312
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgi1  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  (/)
>. "> >. )
)

Proof of Theorem efgi1
StepHypRef Expression
1 1on 6694 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
21elexi 2929 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
32prid2 3877 . . . . 5  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
4 df2o3 6700 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
53, 4eleqtrri 2481 . . . 4  |-  1o  e.  2o
6 efgval.w . . . . 5  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
7 efgval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
86, 7efgi 15310 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  1o  e.  2o ) )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J , 
( 1o  \  1o ) >. "> >. )
)
95, 8mpanr2 666 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. "> >. )
)
1093impa 1148 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J , 
( 1o  \  1o ) >. "> >. )
)
11 tru 1327 . . . 4  |-  T.
12 eqidd 2409 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  1o >.  =  <. J ,  1o >. )
13 difid 3660 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
\  1o )  =  (/)
1413opeq2i 3952 . . . . . 6  |-  <. J , 
( 1o  \  1o ) >.  =  <. J ,  (/)
>.
1514a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  ( 1o  \  1o )
>.  =  <. J ,  (/)
>. )
1612, 15s2eqd 11785 . . . 4  |-  (  T. 
->  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. ">  =  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. "> )
17 oteq3 3959 . . . 4  |-  ( <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. ">  =  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. ">  -> 
<. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. "> >.  =  <. N ,  N ,  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. "> >.
)
1811, 16, 17mp2b 10 . . 3  |-  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J , 
( 1o  \  1o ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. "> >.
1918oveq2i 6055 . 2  |-  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. "> >. )  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  (/)
>. "> >. )
2010, 19syl6breq 4215 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  (/)
>. "> >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3281   (/)c0 3592   {cpr 3779   <.cop 3781   <.cotp 3782   class class class wbr 4176    _I cid 4457   Oncon0 4545    X. cxp 4839   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   1oc1o 6680   2oc2o 6681   0cc0 8950   ...cfz 11003   #chash 11577  Word cword 11676   splice csplice 11680   <"cs2 11764   ~FG cefg 15297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-ot 3788  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-hash 11578  df-word 11682  df-concat 11683  df-s1 11684  df-substr 11685  df-splice 11686  df-s2 11771  df-efg 15300
  Copyright terms: Public domain W3C validator