Theorem efgt0 7362

Description: The exponential function of a real number is greater than 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
efge1.1	|- A e. RR

Assertion

Ref	Expression
efgt0	|- 0 < (exp` A)

Proof of Theorem efgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5423	. . . 4 |- 0 e. RR
2		efge1.1	. . . 4 |- A e. RR
3		lelttrit 5606	. . . 4 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 <_ A \/ A < 0))
4	1, 2, 3	mp2an 696	. . 3 |- (0 <_ A \/ A < 0)
5	1, 2	leloe 5558	. . . 4 |- (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A))
6	5	orbi1i 256	. . 3 |- ((0 <_ A \/ A < 0) <-> ((0 < A \/ 0 = A) \/ A < 0))
7	4, 6	mpbi 189	. 2 |- ((0 < A \/ 0 = A) \/ A < 0)
8	2	efgt1 7361	. . . . . 6 |- (0 < A -> 1 < (exp` A))
9		lt01 5663	. . . . . 6 |- 0 < 1
10	8, 9	jctil 292	. . . . 5 |- (0 < A -> (0 < 1 /\ 1 < (exp` A)))
11		1re 5418	. . . . . 6 |- 1 e. RR
12	2	reefcl 7276	. . . . . 6 |- (exp` A) e. RR
13	1, 11, 12	lttr 5569	. . . . 5 |- ((0 < 1 /\ 1 < (exp` A)) -> 0 < (exp` A))
14	10, 13	syl 10	. . . 4 |- (0 < A -> 0 < (exp` A))
15		fveq2 3719	. . . . . . 7 |- (A = 0 -> (exp` A) = (exp` 0))
16		ef0 7294	. . . . . . 7 |- (exp` 0) = 1
17	15, 16	syl6eq 1521	. . . . . 6 |- (A = 0 -> (exp` A) = 1)
18	17, 9	syl5breqr 2647	. . . . 5 |- (A = 0 -> 0 < (exp` A))
19	18	eqcoms 1476	. . . 4 |- (0 = A -> 0 < (exp` A))
20	14, 19	jaoi 341	. . 3 |- ((0 < A \/ 0 = A) -> 0 < (exp` A))
21		lt0neg1t 5651	. . . . 5 |- (A e. RR -> (A < 0 <-> 0 < -uA))
22	2, 21	ax-mp 7	. . . 4 |- (A < 0 <-> 0 < -uA)
23	2	renegcl 5399	. . . . . . . 8 |- -uA e. RR
24	23	efgt1 7361	. . . . . . 7 |- (0 < -uA -> 1 < (exp` -uA))
25	24, 9	jctil 292	. . . . . 6 |- (0 < -uA -> (0 < 1 /\ 1 < (exp` -uA)))
26	23	reefcl 7276	. . . . . . 7 |- (exp` -uA) e. RR
27	1, 11, 26	lttr 5569	. . . . . 6 |- ((0 < 1 /\ 1 < (exp` -uA)) -> 0 < (exp` -uA))
28	1, 26	ltle 5563	. . . . . 6 |- (0 < (exp` -uA) -> 0 <_ (exp` -uA))
29	25, 27, 28	3syl 20	. . . . 5 |- (0 < -uA -> 0 <_ (exp` -uA))
30	2	recn 5297	. . . . . . . 8 |- A e. CC
31		efcant 7327	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((exp` A) x. (exp` -uA)) = 1)
32	30, 31	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((exp` A) x. (exp` -uA)) = 1
33	9, 32	breqtrr 2636	. . . . . 6 |- 0 < ((exp` A) x. (exp` -uA))
34		prodgt02t 5793	. . . . . . 7 |- ((((exp` A) e. RR /\ (exp` -uA) e. RR) /\ (0 <_ (exp` -uA) /\ 0 < ((exp` A) x. (exp` -uA)))) -> 0 < (exp` A))
35	12, 26, 34	mpanl12 707	. . . . . 6 |- ((0 <_ (exp` -uA) /\ 0 < ((exp` A) x. (exp` -uA))) -> 0 < (exp` A))
36	33, 35	mpan2 695	. . . . 5 |- (0 <_ (exp` -uA) -> 0 < (exp` A))
37	29, 36	syl 10	. . . 4 |- (0 < -uA -> 0 < (exp` A))
38	22, 37	sylbi 199	. . 3 |- (A < 0 -> 0 < (exp` A))
39	20, 38	jaoi 341	. 2 |- (((0 < A \/ 0 = A) \/ A < 0) -> 0 < (exp` A))
40	7, 39	ax-mp 7	1 |- 0 < (exp` A)

Syntax hints:   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2615  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   x. cmul 5222  -ucneg 5276   <_ cle 5278   < clt 5469  expce 7252

This theorem is referenced by:  efgt0t 7363  eflt 7364  loge 8722

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-fl 6182  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-seq0 6479  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-fac 6884  df-bc 6909  df-clim 6928  df-sum 6933  df-ef 7257

Copyright terms: Public domain