Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgval Unicode version

Theorem efgval 15026
 Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
Assertion
Ref Expression
efgval splice
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem efgval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.r . 2 ~FG
2 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12
3 2on 6487 . . . . . . . . . . . . 13
43elexi 2797 . . . . . . . . . . . 12
52, 4xpex 4801 . . . . . . . . . . 11
6 wrdexg 11425 . . . . . . . . . . 11 Word
7 fvi 5579 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word
85, 6, 7mp2b 9 . . . . . . . . . 10 Word Word
9 xpeq1 4703 . . . . . . . . . . . 12
10 wrdeq 11424 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . 11 Word Word
1211fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10 Word Word
138, 12syl5eqr 2329 . . . . . . . . 9 Word Word
14 efgval.w . . . . . . . . 9 Word
1513, 14syl6eqr 2333 . . . . . . . 8 Word
16 ereq2 6668 . . . . . . . 8 Word Word
1715, 16syl 15 . . . . . . 7 Word
18 raleq 2736 . . . . . . . . 9 splice splice
1918ralbidv 2563 . . . . . . . 8 splice splice
2015, 19raleqbidv 2748 . . . . . . 7 Word splice splice
2117, 20anbi12d 691 . . . . . 6 Word Word splice splice
2221abbidv 2397 . . . . 5 Word Word splice splice
2322inteqd 3867 . . . 4 Word Word splice splice
24 df-efg 15018 . . . 4 ~FG Word Word splice
2514efglem 15025 . . . . 5 splice
26 intexab 4169 . . . . 5 splice splice
2725, 26mpbi 199 . . . 4 splice
2823, 24, 27fvmpt 5602 . . 3 ~FG splice
29 fvprc 5519 . . . 4 ~FG
30 abn0 3473 . . . . . . . 8 splice splice
3125, 30mpbir 200 . . . . . . 7 splice
32 intssuni 3884 . . . . . . 7 splice splice splice
3331, 32ax-mp 8 . . . . . 6 splice splice
34 erssxp 6683 . . . . . . . . . . . 12
3514efgrcl 15024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word
3635simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736con3i 127 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837eq0rdv 3489 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938xpeq2d 4713 . . . . . . . . . . . . . 14
40 xp0 5098 . . . . . . . . . . . . . 14
4139, 40syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13
42 ss0b 3484 . . . . . . . . . . . . 13
4341, 42sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12
4434, 43sylan9ssr 3193 . . . . . . . . . . 11
4544ex 423 . . . . . . . . . 10
4645adantrd 454 . . . . . . . . 9 splice
4746alrimiv 1617 . . . . . . . 8 splice
48 sseq1 3199 . . . . . . . . 9
4948ralab2 2930 . . . . . . . 8 splice splice
5047, 49sylibr 203 . . . . . . 7 splice
51 unissb 3857 . . . . . . 7 splice splice
5250, 51sylibr 203 . . . . . 6 splice
5333, 52syl5ss 3190 . . . . 5 splice
54 ss0 3485 . . . . 5 splice splice
5553, 54syl 15 . . . 4 splice
5629, 55eqtr4d 2318 . . 3 ~FG splice
5728, 56pm2.61i 156 . 2 ~FG splice
581, 57eqtri 2303 1 splice
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358  wal 1527  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  cab 2269   wne 2446  wral 2543  cvv 2788   cdif 3149   wss 3152  c0 3455  cop 3643  cotp 3644  cuni 3827  cint 3862   class class class wbr 4023   cid 4304  con0 4392   cxp 4687  cfv 5255  (class class class)co 5858  c1o 6472  c2o 6473   wer 6657  cc0 8737  cfz 10782  chash 11337  Word cword 11403   splice csplice 11407  cs2 11491   ~FG cefg 15015 This theorem is referenced by:  efger  15027  efgi  15028  efgval2  15033  frgpuplem  15081 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-substr 11412  df-splice 11413  df-s2 11498  df-efg 15018
 Copyright terms: Public domain W3C validator