Theorem efif1lem2 8665

Description: Lemma for efif1 8671.

Assertion

Ref	Expression
efif1lem2	|- (A e. (pi[,)(2 x. pi)) -> (A - pi) e. (0[,)pi))

Proof of Theorem efif1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 8615	. . . . 5 |- pi e. RR
2		resubclt 5418	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ pi e. RR) -> (A - pi) e. RR)
3	1, 2	mpan2 695	. . . 4 |- (A e. RR -> (A - pi) e. RR)
4	3	3ad2ant1 799	. . 3 |- ((A e. RR /\ pi <_ A /\ A < (2 x. pi)) -> (A - pi) e. RR)
5		subge0t 5655	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ pi e. RR) -> (0 <_ (A - pi) <-> pi <_ A))
6	1, 5	mpan2 695	. . . . 5 |- (A e. RR -> (0 <_ (A - pi) <-> pi <_ A))
7	6	biimpar 417	. . . 4 |- ((A e. RR /\ pi <_ A) -> 0 <_ (A - pi))
8	7	3adant3 798	. . 3 |- ((A e. RR /\ pi <_ A /\ A < (2 x. pi)) -> 0 <_ (A - pi))
9		ltsubaddt 5609	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ pi e. RR /\ pi e. RR) -> ((A - pi) < pi <-> A < (pi + pi)))
10	1, 1, 9	mp3an23 906	. . . . . 6 |- (A e. RR -> ((A - pi) < pi <-> A < (pi + pi)))
11	1	recn 5294	. . . . . . . 8 |- pi e. CC
12	11	2times 5958	. . . . . . 7 |- (2 x. pi) = (pi + pi)
13	12	breq2i 2622	. . . . . 6 |- (A < (2 x. pi) <-> A < (pi + pi))
14	10, 13	syl6bbr 537	. . . . 5 |- (A e. RR -> ((A - pi) < pi <-> A < (2 x. pi)))
15	14	biimpar 417	. . . 4 |- ((A e. RR /\ A < (2 x. pi)) -> (A - pi) < pi)
16	15	3adant2 797	. . 3 |- ((A e. RR /\ pi <_ A /\ A < (2 x. pi)) -> (A - pi) < pi)
17	4, 8, 16	3jca 818	. 2 |- ((A e. RR /\ pi <_ A /\ A < (2 x. pi)) -> ((A - pi) e. RR /\ 0 <_ (A - pi) /\ (A - pi) < pi))
18		2re 5934	. . . 4 |- 2 e. RR
19	18, 1	remulcl 5315	. . 3 |- (2 x. pi) e. RR
20		elico2t 6331	. . 3 |- ((pi e. RR /\ (2 x. pi) e. RR) -> (A e. (pi[,)(2 x. pi)) <-> (A e. RR /\ pi <_ A /\ A < (2 x. pi))))
21	1, 19, 20	mp2an 696	. 2 |- (A e. (pi[,)(2 x. pi)) <-> (A e. RR /\ pi <_ A /\ A < (2 x. pi)))
22		0re 5420	. . 3 |- 0 e. RR
23		elico2t 6331	. . 3 |- ((0 e. RR /\ pi e. RR) -> ((A - pi) e. (0[,)pi) <-> ((A - pi) e. RR /\ 0 <_ (A - pi) /\ (A - pi) < pi)))
24	22, 1, 23	mp2an 696	. 2 |- ((A - pi) e. (0[,)pi) <-> ((A - pi) e. RR /\ 0 <_ (A - pi) /\ (A - pi) < pi))
25	17, 21, 24	3imtr4 219	1 |- (A e. (pi[,)(2 x. pi)) -> (A - pi) e. (0[,)pi))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 774   e. wcel 956   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214   + caddc 5217   x. cmul 5219   - cmin 5272   <_ cle 5275   < clt 5466  2c2 5916  [,)cico 6304  picpi 7247

This theorem is referenced by:  efif1lem4 8667

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-r1 4623  df-rank 4624  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-5 5928  df-6 5929  df-7 5930  df-8 5931  df-9 5932  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-q 6202  df-rp 6227  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-ioo 6306  df-ioc 6307  df-ico 6308  df-icc 6309  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-seq0 6474  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-fac 6877  df-bc 6902  df-clim 6921  df-sum 6926  df-cncf 7206  df-ef 7248  df-sin 7250  df-cos 7251  df-pi 7252  df-top 7542  df-cn 7704  df-cnp 7705  df-met 7743  df-bl 7745  df-opn 7746  df-lm 7874

Copyright terms: Public domain