Theorem efimpi 8698

Description: The exponential function of i times a real number less pi. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efimpi	|- (A e. CC -> (exp` (i x. (A - pi))) = -u(exp` (i x. A)))

Proof of Theorem efimpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negdit 5455	. . . 4 |- (((cos` A) e. CC /\ (i x. (sin` A)) e. CC) -> -u((cos` A) + (i x. (sin` A))) = (-u(cos` A) + -u(i x. (sin` A))))
2		cosclt 7432	. . . 4 |- (A e. CC -> (cos` A) e. CC)
3		sinclt 7431	. . . . 5 |- (A e. CC -> (sin` A) e. CC)
4		axicn 5270	. . . . . 6 |- i e. CC
5		axmulcl 5273	. . . . . 6 |- ((i e. CC /\ (sin` A) e. CC) -> (i x. (sin` A)) e. CC)
6	4, 5	mpan 695	. . . . 5 |- ((sin` A) e. CC -> (i x. (sin` A)) e. CC)
7	3, 6	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> (i x. (sin` A)) e. CC)
8	1, 2, 7	sylanc 471	. . 3 |- (A e. CC -> -u((cos` A) + (i x. (sin` A))) = (-u(cos` A) + -u(i x. (sin` A))))
9		cosmpi 8695	. . . 4 |- (A e. CC -> (cos` (A - pi)) = -u(cos` A))
10		sinmpi 8694	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (sin` (A - pi)) = -u(sin` A))
11	10	opreq2d 3976	. . . . 5 |- (A e. CC -> (i x. (sin` (A - pi))) = (i x. -u(sin` A)))
12		mulneg2t 5452	. . . . . . 7 |- ((i e. CC /\ (sin` A) e. CC) -> (i x. -u(sin` A)) = -u(i x. (sin` A)))
13	4, 12	mpan 695	. . . . . 6 |- ((sin` A) e. CC -> (i x. -u(sin` A)) = -u(i x. (sin` A)))
14	3, 13	syl 10	. . . . 5 |- (A e. CC -> (i x. -u(sin` A)) = -u(i x. (sin` A)))
15	11, 14	eqtrd 1507	. . . 4 |- (A e. CC -> (i x. (sin` (A - pi))) = -u(i x. (sin` A)))
16	9, 15	opreq12d 3978	. . 3 |- (A e. CC -> ((cos` (A - pi)) + (i x. (sin` (A - pi)))) = (-u(cos` A) + -u(i x. (sin` A))))
17	8, 16	eqtr4d 1510	. 2 |- (A e. CC -> -u((cos` A) + (i x. (sin` A))) = ((cos` (A - pi)) + (i x. (sin` (A - pi)))))
18		efivalt 7447	. . 3 |- (A e. CC -> (exp` (i x. A)) = ((cos` A) + (i x. (sin` A))))
19	18	negeqd 5361	. 2 |- (A e. CC -> -u(exp` (i x. A)) = -u((cos` A) + (i x. (sin` A))))
20		pire 8677	. . . . 5 |- pi e. RR
21	20	recn 5314	. . . 4 |- pi e. CC
22		subclt 5367	. . . 4 |- ((A e. CC /\ pi e. CC) -> (A - pi) e. CC)
23	21, 22	mpan2 696	. . 3 |- (A e. CC -> (A - pi) e. CC)
24		efivalt 7447	. . 3 |- ((A - pi) e. CC -> (exp` (i x. (A - pi))) = ((cos` (A - pi)) + (i x. (sin` (A - pi)))))
25	23, 24	syl 10	. 2 |- (A e. CC -> (exp` (i x. (A - pi))) = ((cos` (A - pi)) + (i x. (sin` (A - pi)))))
26	17, 19, 25	3eqtr4rd 1518	1 |- (A e. CC -> (exp` (i x. (A - pi))) = -u(exp` (i x. A)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  ici 5236   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292  -ucneg 5293  expce 7293  sincsin 7295  cosccos 7296  picpi 7297

This theorem is referenced by:  efif1lem4 8733

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-5 5973  df-6 5974  df-7 5975  df-8 5976  df-9 5977  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-rp 6281  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-ioc 6362  df-ico 6363  df-icc 6364  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301  df-pi 7302  df-top 7592  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922

Copyright terms: Public domain