Theorem eflegeolem2 7362

Description: Lemma for eflegeo 7363.

Hypotheses

Ref	Expression
eflegeolem2.1	|- A e. RR
eflegeolem2.2	|- (0 <_ A /\ A < 1)
eflegeolem2.3	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
eflegeolem2.4	|- G = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (A^j))}

Assertion

Ref	Expression
eflegeolem2	|- (exp` A) <_ (1 / (1 - A))

Distinct variable group:   A,j,y

Proof of Theorem eflegeolem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addex 5297	. . . . 5 |- + e. V
2		nn0ex 6060	. . . . . 6 |- NN0 e. V
3		eflegeolem2.3	. . . . . 6 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
4	2, 3	fopabex2 3604	. . . . 5 |- F e. V
5	1, 4	seq0seqz 6482	. . . 4 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
6		eflegeolem2.1	. . . . . 6 |- A e. RR
7	6	recn 5294	. . . . 5 |- A e. CC
8	3	efcvg 7264	. . . . 5 |- (A e. CC -> ( + seq0 F) ~~> (exp` A))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . 4 |- ( + seq0 F) ~~> (exp` A)
10	5, 9	eqbrtrr 2631	. . 3 |- (<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A)
11		eflegeolem2.4	. . . . . 6 |- G = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (A^j))}
12	2, 11	fopabex2 3604	. . . . 5 |- G e. V
13	1, 12	seq0seqz 6482	. . . 4 |- ( + seq0 G) = (<.0, + >. seq G)
14		1re 5415	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
15	6, 14	abslt 6818	. . . . . 6 |- ((abs` A) < 1 <-> (-u1 < A /\ A < 1))
16		lt01 5661	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
17		lt0neg2t 5650	. . . . . . . . 9 |- (1 e. RR -> (0 < 1 <-> -u1 < 0))
18	14, 17	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0 < 1 <-> -u1 < 0)
19	16, 18	mpbi 189	. . . . . . 7 |- -u1 < 0
20		eflegeolem2.2	. . . . . . . 8 |- (0 <_ A /\ A < 1)
21	20	pm3.26i 320	. . . . . . 7 |- 0 <_ A
22	14	renegcl 5396	. . . . . . . 8 |- -u1 e. RR
23		0re 5420	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
24	22, 23, 6	ltletr 5569	. . . . . . 7 |- ((-u1 < 0 /\ 0 <_ A) -> -u1 < A)
25	19, 21, 24	mp2an 696	. . . . . 6 |- -u1 < A
26	20	pm3.27i 324	. . . . . 6 |- A < 1
27	15, 25, 26	mpbir2an 729	. . . . 5 |- (abs` A) < 1
28	11, 7, 27	geolimi 7179	. . . 4 |- ( + seq0 G) ~~> (1 / (1 - A))
29	13, 28	eqbrtrr 2631	. . 3 |- (<.0, + >. seq G) ~~> (1 / (1 - A))
30	10, 29	pm3.2i 285	. 2 |- ((<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A) /\ (<.0, + >. seq G) ~~> (1 / (1 - A)))
31		0z 6101	. . 3 |- 0 e. ZZ
32		elfznn0t 6436	. . . . . . . 8 |- (k e. (0...n) -> k e. NN0)
33	3	eftval 7266	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
34		reeftclt 7324	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((A^k) / (!` k)) e. RR)
35	6, 34	mpan 694	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> ((A^k) / (!` k)) e. RR)
36	33, 35	eqeltrd 1545	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. RR)
37	32, 36	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. (0...n) -> (F` k) e. RR)
38	37	rgen 1695	. . . . . 6 |- A.k e. (0...n)(F` k) e. RR
39	4	serzreclt 6996	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (0...n)(F` k) e. RR) -> ((<.0, + >. seq F)` n) e. RR)
40	38, 39	mpan2 695	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` 0) -> ((<.0, + >. seq F)` n) e. RR)
41		opreq2 3960	. . . . . . . . . 10 |- (j = k -> (A^j) = (A^k))
42		oprex 3974	. . . . . . . . . 10 |- (A^k) e. V
43	41, 11, 42	fvopab4 3771	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (G` k) = (A^k))
44		reexpclt 6520	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (A^k) e. RR)
45	6, 44	mpan 694	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (A^k) e. RR)
46	43, 45	eqeltrd 1545	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (G` k) e. RR)
47	32, 46	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. (0...n) -> (G` k) e. RR)
48	47	rgen 1695	. . . . . 6 |- A.k e. (0...n)(G` k) e. RR
49	12	serzreclt 6996	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (0...n)(G` k) e. RR) -> ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR)
50	48, 49	mpan2 695	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` 0) -> ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR)
51	6, 21	eflegeolem1 7361	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> ((A^k) / (!` k)) <_ (A^k))
52	51, 33, 43	3brtr4d 2640	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (F` k) <_ (G` k))
53	32, 52	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. (0...n) -> (F` k) <_ (G` k))
54	37, 47, 53	3jca 818	. . . . . . 7 |- (k e. (0...n) -> ((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)))
55	54	rgen 1695	. . . . . 6 |- A.k e. (0...n)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))
56	4, 12	serzcmp 7000	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (0...n)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))) -> ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n))
57	55, 56	mpan2 695	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` 0) -> ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n))
58	40, 50, 57	3jca 818	. . . 4 |- (n e. (ZZ>` 0) -> (((<.0, + >. seq F)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n)))
59	58	rgen 1695	. . 3 |- A.n e. (ZZ>` 0)(((<.0, + >. seq F)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n))
60	31, 59	pm3.2i 285	. 2 |- (0 e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>` 0)(((<.0, + >. seq F)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n)))
61		oprex 3974	. . 3 |- (<.0, + >. seq F) e. V
62		oprex 3974	. . 3 |- (<.0, + >. seq G) e. V
63		fvex 3723	. . 3 |- (exp` A) e. V
64		oprex 3974	. . 3 |- (1 / (1 - A)) e. V
65	61, 62, 63, 64	climcmp 7082	. 2 |- ((((<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A) /\ (<.0, + >. seq G) ~~> (1 / (1 - A))) /\ (0 e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>` 0)(((<.0, + >. seq F)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n)))) -> (exp` A) <_ (1 / (1 - A)))
66	30, 60, 65	mp2an 696	1 |- (exp` A) <_ (1 / (1 - A))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  <.cop 2407   class class class wbr 2614  {copab 2661  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   - cmin 5272  -ucneg 5273   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NN0cn0 5277  ZZcz 5278   < clt 5466  ZZ>cuz 6357  ...cfz 6407   seq cseqz 6471   seq0 cseq0 6472  ^cexp 6508  abscabs 6689  !cfa 6876   ~~> cli 6920  expce 7243

This theorem is referenced by:  eflegeo 7363

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-seq0 6474  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-fac 6877  df-clim 6921  df-sum 6926  df-ef 7248

Copyright terms: Public domain