Theorem efm1lim 7387

Description: Series convergence to the exponential function minus 1. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
efm1lim.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
efm1lim.2	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
efm1lim	|- (<.1, + >. seq F) ~~> ((exp` A) - 1)

Distinct variable group:   A,j,y

Proof of Theorem efm1lim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 6074	. . . 4 |- 0 e. NN0
2		nn0uz 6388	. . . 4 |- NN0 = (ZZ>` 0)
3	1, 2	eleqtr 1545	. . 3 |- 0 e. (ZZ>` 0)
4		nn0ex 6066	. . . . 5 |- NN0 e. V
5		efm1lim.1	. . . . 5 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
6	4, 5	fopabex2 3609	. . . 4 |- F e. V
7		fvex 3729	. . . 4 |- (exp` A) e. V
8		addex 5304	. . . . . 6 |- + e. V
9	8, 6	seq0seqz 6492	. . . . 5 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
10		efm1lim.2	. . . . . 6 |- A e. CC
11	5	efcvg 7292	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ( + seq0 F) ~~> (exp` A))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( + seq0 F) ~~> (exp` A)
13	9, 12	eqbrtrr 2633	. . . 4 |- (<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A)
14		eftclt 7281	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ j e. NN0) -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
15	10, 14	mpan 694	. . . . . 6 |- (j e. NN0 -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
16	5, 15	fopab 3824	. . . . 5 |- F:NN0-->CC
17		feq2 3618	. . . . . 6 |- (NN0 = (ZZ>` 0) -> (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>` 0)-->CC))
18	2, 17	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>` 0)-->CC)
19	16, 18	mpbi 189	. . . 4 |- F:(ZZ>` 0)-->CC
20	6, 7, 13, 19	clim2serz 7114	. . 3 |- (0 e. (ZZ>` 0) -> (<.(0 + 1), + >. seq F) ~~> ((exp` A) - ((<.0, + >. seq F)` 0)))
21	3, 20	ax-mp 7	. 2 |- (<.(0 + 1), + >. seq F) ~~> ((exp` A) - ((<.0, + >. seq F)` 0))
22		ax1cn 5256	. . . . 5 |- 1 e. CC
23	22	addid2 5318	. . . 4 |- (0 + 1) = 1
24	23	opeq1i 2488	. . 3 |- <.(0 + 1), + >. = <.1, + >.
25	24	opreq1i 3968	. 2 |- (<.(0 + 1), + >. seq F) = (<.1, + >. seq F)
26		0z 6107	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
27	8, 6	seqz1 6497	. . . . 5 |- (0 e. ZZ -> ((<.0, + >. seq F)` 0) = (F` 0))
28	26, 27	ax-mp 7	. . . 4 |- ((<.0, + >. seq F)` 0) = (F` 0)
29	5, 10	eft0val 7375	. . . 4 |- (F` 0) = 1
30	28, 29	eqtr 1494	. . 3 |- ((<.0, + >. seq F)` 0) = 1
31	30	opreq2i 3969	. 2 |- ((exp` A) - ((<.0, + >. seq F)` 0)) = ((exp` A) - 1)
32	21, 25, 31	3brtr3 2639	1 |- (<.1, + >. seq F) ~~> ((exp` A) - 1)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  <.cop 2409   class class class wbr 2616  {copab 2663  -->wf 3175  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  0cc0 5221  1c1 5222   + caddc 5224   - cmin 5279   / cdiv 5281  NN0cn0 5284  ZZcz 5285  ZZ>cuz 6367   seq cseqz 6481   seq0 cseq0 6482  ^cexp 6518  !cfa 6897   ~~> cli 6942  expce 7271

This theorem is referenced by:  absefm1le 7388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-n0 6061  df-z 6097  df-fl 6186  df-seq1 6263  df-shft 6296  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seqz 6483  df-seq0 6484  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-fac 6898  df-clim 6943  df-sum 6948  df-ef 7276

Copyright terms: Public domain