MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efopn Unicode version

Theorem efopn 20532
Description: The exponential map is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efopn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
efopn  |-  ( S  e.  J  ->  ( exp " S )  e.  J )

Proof of Theorem efopn
Dummy variables  w  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efopn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtopon 18800 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
3 toponss 16977 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  CC )
42, 3mpan 652 . . . . . 6  |-  ( S  e.  J  ->  S  C_  CC )
54sselda 3335 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
6 cnxmet 18790 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
7 pire 20355 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
8 pipos 20356 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
97, 8elrpii 10599 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR+
101cnfldtopn 18799 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1110mopni3 18507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S
)  /\  pi  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  < 
pi  /\  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  S )
)
129, 11mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S ) )
136, 12mp3an1 1266 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S ) )
14 imass2 5226 . . . . . . . 8  |-  ( ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  S  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) )
15 imassrn 5202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ran  exp
16 eff 12667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  exp : CC
--> CC
17 frn 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  ran 
exp  C_  CC )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  exp  C_  CC
1915, 18sstri 3344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  CC
20 sseqin2 3547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  CC 
<->  ( CC  i^i  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
2119, 20mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
i^i  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
22 rpxr 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
23 blssm 18431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
246, 23mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )
2522, 24sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
2726sselda 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  y  e.  CC )
28 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  x  e.  CC )
2927, 28subcld 9395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  -  x )  e.  CC )
3029subid1d 9384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x )  -  0 )  =  ( y  -  x
) )
3130fveq2d 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs `  ( ( y  -  x )  -  0 ) )  =  ( abs `  ( y  -  x ) ) )
32 0cn 9068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
33 eqid 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3433cnmetdval 18788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  -  x
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( y  -  x ) ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( ( y  -  x )  -  0 ) ) )
3529, 32, 34sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  (
( y  -  x
)  -  0 ) ) )
3633cnmetdval 18788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
3727, 28, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  =  ( abs `  ( y  -  x ) ) )
3831, 35, 373eqtr4d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( y ( abs 
o.  -  ) x
) )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
406a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
41 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  r  e.  RR+ )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR+ )
4342rpxrd 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR* )
44 elbl3 18405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  <  r
) )
4540, 43, 28, 27, 44syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( y ( abs 
o.  -  ) x
)  <  r )
)
4639, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  <  r
)
4738, 46eqbrtrd 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  < 
r )
4832a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  0  e.  CC )
49 elbl3 18405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  ( y  -  x )  e.  CC ) )  -> 
( ( y  -  x )  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  < 
r ) )
5040, 43, 48, 29, 49syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x )  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( y  -  x ) ( abs  o.  -  )
0 )  <  r
) )
5147, 50mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  -  x )  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
52 efsub 12684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( exp `  (
y  -  x ) )  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) ) )
5327, 28, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  ( y  -  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )
54 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( y  -  x )  ->  ( exp `  w )  =  ( exp `  (
y  -  x ) ) )
5554eqeq1d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( y  -  x )  ->  (
( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) )  <->  ( exp `  ( y  -  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) ) )
5655rspcev 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  -  x
)  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( exp `  ( y  -  x ) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )
5751, 53, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) ) )
58 oveq1 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  (
( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
5958eqeq2d 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  (
( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) )  <->  ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
6059rexbidv 2713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  ( E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
6157, 60syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  y )  =  z  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
6261rexlimdva 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
63 eqcom 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( exp `  w )  =  ( z  / 
( exp `  x
) )  <->  ( z  /  ( exp `  x
) )  =  ( exp `  w ) )
64 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  z  e.  CC )
65 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  x  e.  CC )
66 efcl 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6841rpxrd 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  r  e.  RR* )
69 blssm 18431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
706, 32, 69mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( r  e.  RR*  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
7168, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
7271sselda 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  w  e.  CC )
73 efcl 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  CC  ->  ( exp `  w )  e.  CC )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  w )  e.  CC )
75 efne0 12681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
7665, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  x )  =/=  0
)
7764, 67, 74, 76divmuld 9796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
z  /  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  w
)  <->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w ) )  =  z ) )
7863, 77syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  <-> 
( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z ) )
7965, 72pncan2d 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  -  x )  =  w )
8072subid1d 9384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w  -  0 )  =  w )
8179, 80eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  -  x )  =  ( w  -  0 ) )
8281fveq2d 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs `  ( ( x  +  w )  -  x
) )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8365, 72addcld 9091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( x  +  w )  e.  CC )
8433cnmetdval 18788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  +  w
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  +  w ) ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( ( x  +  w )  -  x
) ) )
8583, 65, 84syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  (
( x  +  w
)  -  x ) ) )
8633cnmetdval 18788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( w ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8772, 32, 86sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8882, 85, 873eqtr4d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  =  ( w ( abs 
o.  -  ) 0 ) )
89 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
906a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
9141adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR+ )
9291rpxrd 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR* )
9332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  0  e.  CC )
94 elbl3 18405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  <  r
) )
9590, 92, 93, 72, 94syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( w ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  r ) )
9689, 95mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  <  r
)
9788, 96eqbrtrd 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  < 
r )
98 elbl3 18405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  ( x  +  w )  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  w )  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  < 
r ) )
9990, 92, 65, 83, 98syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  e.  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( x  +  w ) ( abs  o.  -  )
x )  <  r
) )
10097, 99mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( x  +  w )  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
101 efadd 12679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  w ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) ) )
10265, 72, 101syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  ( x  +  w
) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )
103 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  +  w )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
x  +  w ) ) )
104103eqeq1d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  +  w )  ->  (
( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) )  <->  ( exp `  ( x  +  w
) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) ) )
105104rspcev 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  +  w
)  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( exp `  ( x  +  w ) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )
106100, 102, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) ) )
107 eqeq2 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  ( ( exp `  y )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  <->  ( exp `  y )  =  z ) )
108107rexbidv 2713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  ( E. y  e.  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
109106, 108syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
11078, 109sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z ) )
111110rexlimdva 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  ->  E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z ) )
11262, 111impbid 184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z  <->  E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
113 ffn 5577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
11416, 113ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  exp  Fn  CC
115 fvelimab 5768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )  -> 
( z  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
116114, 26, 115sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
117 fvelimab 5768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )  -> 
( ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
118114, 71, 117sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( z  /  ( exp `  x ) )  e.  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
119112, 116, 1183bitr4d 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  ( z  /  ( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
120119rabbi2dva 3536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( CC  i^i  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  /  ( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) } )
12121, 120syl5eqr 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) } )
122 eqid 2430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
123122mptpreima 5349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) " ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) }
124121, 123syl6eqr 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) "
( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
12566ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  e.  CC )
12675ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  =/=  0 )
127122divccncf 18919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( exp `  x
)  e.  CC  /\  ( exp `  x )  =/=  0 )  -> 
( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
128125, 126, 127syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
1291cncfcn1 18923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( J  Cn  J )
130128, 129syl6eleq 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
1311efopnlem2 20531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  e.  J
)
132131adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )
133 cnima 17312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )  ->  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) ) "
( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  e.  J )
134130, 132, 133syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
" ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  e.  J )
135124, 134eqeltrd 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )
136 blcntr 18426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
1376, 136mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
138 ffun 5579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  Fun 
exp )
13916, 138ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  exp
14016fdmi 5582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  exp  =  CC
14125, 140syl6sseqr 3382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  dom  exp )
142 funfvima2 5960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  exp  /\  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  dom  exp )  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
143139, 141, 142sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  ( exp `  x )  e.  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
144137, 143mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )
145144adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )
146 eleq2 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  y  <->  ( exp `  x )  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
147 sseq1 3356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( y  C_  ( exp " S )  <->  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) )
148146, 147anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) )  <-> 
( ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  /\  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) ) )
149148rspcev 3039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J  /\  ( ( exp `  x )  e.  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  /\  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
150149expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J  /\  ( exp `  x )  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  ->  ( ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
151135, 145, 150syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
15214, 151syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  S  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
153152expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( r  < 
pi  /\  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
154153rexlimdva 2817 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( E. r  e.  RR+  (
r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
1555, 13, 154sylc 58 . . . 4  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) )
156155ralrimiva 2776 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
157 eleq1 2490 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( z  e.  y  <->  ( exp `  x
)  e.  y ) )
158157anbi1d 686 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
159158rexbidv 2713 . . . . 5  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( E. y  e.  J  (
z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
160159ralima 5964 . . . 4  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  S  C_  CC )  -> 
( A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) )  <->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
161114, 4, 160sylancr 645 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  ( A. z  e.  ( exp " S ) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
162156, 161mpbird 224 . 2  |-  ( S  e.  J  ->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
1631cnfldtop 18801 . . 3  |-  J  e. 
Top
164 eltop2 17023 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( exp " S
)  e.  J  <->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
165163, 164ax-mp 8 . 2  |-  ( ( exp " S )  e.  J  <->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
166162, 165sylibr 204 1  |-  ( S  e.  J  ->  ( exp " S )  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593   A.wral 2692   E.wrex 2693   {crab 2696    i^i cin 3306    C_ wss 3307   class class class wbr 4199    e. cmpt 4253   `'ccnv 4863   dom cdm 4864   ran crn 4865   "cima 4867    o. ccom 4868   Fun wfun 5434    Fn wfn 5435   -->wf 5436   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   CCcc 8972   0cc0 8974    + caddc 8977    x. cmul 8979   RR*cxr 9103    < clt 9104    - cmin 9275    / cdiv 9661   RR+crp 10596   abscabs 12022   expce 12647   picpi 12652   TopOpenctopn 13632   * Metcxmt 16669   ballcbl 16671  ℂfldccnfld 16686   Topctop 16941  TopOnctopon 16942    Cn ccn 17271   -cn->ccncf 18889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053  ax-mulf 9054
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-2o 6711  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-pm 7007  df-ixp 7050  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-fi 7402  df-sup 7432  df-oi 7463  df-card 7810  df-cda 8032  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-z 10267  df-dec 10367  df-uz 10473  df-q 10559  df-rp 10597  df-xneg 10694  df-xadd 10695  df-xmul 10696  df-ioo 10904  df-ioc 10905  df-ico 10906  df-icc 10907  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-fl 11185  df-mod 11234  df-seq 11307  df-exp 11366  df-fac 11550  df-bc 11577  df-hash 11602  df-shft 11865  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-limsup 12248  df-clim 12265  df-rlim 12266  df-sum 12463  df-ef 12653  df-sin 12655  df-cos 12656  df-tan 12657  df-pi 12658  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-starv 13527  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-tset 13531  df-ple 13532  df-ds 13534  df-unif 13535  df-hom 13536  df-cco 13537  df-rest 13633  df-topn 13634  df-topgen 13650  df-pt 13651  df-prds 13654  df-xrs 13709  df-0g 13710  df-gsum 13711  df-qtop 13716  df-imas 13717  df-xps 13719  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-mnd 14673  df-submnd 14722  df-mulg 14798  df-cntz 15099  df-cmn 15397  df-psmet 16677  df-xmet 16678  df-met 16679  df-bl 16680  df-mopn 16681  df-fbas 16682  df-fg 16683  df-cnfld 16687  df-top 16946  df-bases 16948  df-topon 16949  df-topsp 16950  df-cld 17066  df-ntr 17067  df-cls 17068  df-nei 17145  df-lp 17183  df-perf 17184  df-cn 17274  df-cnp 17275  df-haus 17362  df-cmp 17433  df-tx 17577  df-hmeo 17770  df-fil 17861  df-fm 17953  df-flim 17954  df-flf 17955  df-xms 18333  df-ms 18334  df-tms 18335  df-cncf 18891  df-limc 19736  df-dv 19737  df-log 20437
  Copyright terms: Public domain W3C validator