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Theorem efopn 20409
Description: The exponential map is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efopn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
efopn  |-  ( S  e.  J  ->  ( exp " S )  e.  J )

Proof of Theorem efopn
Dummy variables  w  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efopn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtopon 18681 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
3 toponss 16910 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  CC )
42, 3mpan 652 . . . . . 6  |-  ( S  e.  J  ->  S  C_  CC )
54sselda 3284 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
6 cnxmet 18671 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
7 pire 20232 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
8 pipos 20233 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
97, 8elrpii 10540 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR+
101cnfldtopn 18680 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1110mopni3 18407 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S
)  /\  pi  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  < 
pi  /\  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  S )
)
129, 11mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S ) )
136, 12mp3an1 1266 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S ) )
14 imass2 5173 . . . . . . . 8  |-  ( ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  S  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) )
15 imassrn 5149 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ran  exp
16 eff 12604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  exp : CC
--> CC
17 frn 5530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  ran 
exp  C_  CC )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  exp  C_  CC
1915, 18sstri 3293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  CC
20 sseqin2 3496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  CC 
<->  ( CC  i^i  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
2119, 20mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
i^i  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
22 rpxr 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
23 blssm 18335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
246, 23mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )
2522, 24sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
2726sselda 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  y  e.  CC )
28 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  x  e.  CC )
2927, 28subcld 9336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  -  x )  e.  CC )
3029subid1d 9325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x )  -  0 )  =  ( y  -  x
) )
3130fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs `  ( ( y  -  x )  -  0 ) )  =  ( abs `  ( y  -  x ) ) )
32 0cn 9010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
33 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3433cnmetdval 18669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  -  x
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( y  -  x ) ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( ( y  -  x )  -  0 ) ) )
3529, 32, 34sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  (
( y  -  x
)  -  0 ) ) )
3633cnmetdval 18669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
3727, 28, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  =  ( abs `  ( y  -  x ) ) )
3831, 35, 373eqtr4d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( y ( abs 
o.  -  ) x
) )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
406a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
41 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  r  e.  RR+ )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR+ )
4342rpxrd 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR* )
44 elbl3 18318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  <  r
) )
4540, 43, 28, 27, 44syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( y ( abs 
o.  -  ) x
)  <  r )
)
4639, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  <  r
)
4738, 46eqbrtrd 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  < 
r )
4832a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  0  e.  CC )
49 elbl3 18318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  ( y  -  x )  e.  CC ) )  -> 
( ( y  -  x )  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  < 
r ) )
5040, 43, 48, 29, 49syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x )  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( y  -  x ) ( abs  o.  -  )
0 )  <  r
) )
5147, 50mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  -  x )  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
52 efsub 12621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( exp `  (
y  -  x ) )  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) ) )
5327, 28, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  ( y  -  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )
54 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( y  -  x )  ->  ( exp `  w )  =  ( exp `  (
y  -  x ) ) )
5554eqeq1d 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( y  -  x )  ->  (
( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) )  <->  ( exp `  ( y  -  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) ) )
5655rspcev 2988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  -  x
)  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( exp `  ( y  -  x ) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )
5751, 53, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) ) )
58 oveq1 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  (
( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
5958eqeq2d 2391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  (
( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) )  <->  ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
6059rexbidv 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  ( E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
6157, 60syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  y )  =  z  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
6261rexlimdva 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
63 eqcom 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( exp `  w )  =  ( z  / 
( exp `  x
) )  <->  ( z  /  ( exp `  x
) )  =  ( exp `  w ) )
64 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  z  e.  CC )
65 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  x  e.  CC )
66 efcl 12605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6841rpxrd 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  r  e.  RR* )
69 blssm 18335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
706, 32, 69mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( r  e.  RR*  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
7168, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
7271sselda 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  w  e.  CC )
73 efcl 12605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  CC  ->  ( exp `  w )  e.  CC )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  w )  e.  CC )
75 efne0 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
7665, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  x )  =/=  0
)
7764, 67, 74, 76divmuld 9737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
z  /  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  w
)  <->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w ) )  =  z ) )
7863, 77syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  <-> 
( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z ) )
7965, 72pncan2d 9338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  -  x )  =  w )
8072subid1d 9325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w  -  0 )  =  w )
8179, 80eqtr4d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  -  x )  =  ( w  -  0 ) )
8281fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs `  ( ( x  +  w )  -  x
) )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8365, 72addcld 9033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( x  +  w )  e.  CC )
8433cnmetdval 18669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  +  w
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  +  w ) ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( ( x  +  w )  -  x
) ) )
8583, 65, 84syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  (
( x  +  w
)  -  x ) ) )
8633cnmetdval 18669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( w ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8772, 32, 86sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8882, 85, 873eqtr4d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  =  ( w ( abs 
o.  -  ) 0 ) )
89 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
906a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
9141adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR+ )
9291rpxrd 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR* )
9332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  0  e.  CC )
94 elbl3 18318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  <  r
) )
9590, 92, 93, 72, 94syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( w ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  r ) )
9689, 95mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  <  r
)
9788, 96eqbrtrd 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  < 
r )
98 elbl3 18318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  ( x  +  w )  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  w )  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  < 
r ) )
9990, 92, 65, 83, 98syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  e.  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( x  +  w ) ( abs  o.  -  )
x )  <  r
) )
10097, 99mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( x  +  w )  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
101 efadd 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  w ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) ) )
10265, 72, 101syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  ( x  +  w
) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )
103 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  +  w )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
x  +  w ) ) )
104103eqeq1d 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  +  w )  ->  (
( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) )  <->  ( exp `  ( x  +  w
) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) ) )
105104rspcev 2988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  +  w
)  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( exp `  ( x  +  w ) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )
106100, 102, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) ) )
107 eqeq2 2389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  ( ( exp `  y )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  <->  ( exp `  y )  =  z ) )
108107rexbidv 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  ( E. y  e.  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
109106, 108syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
11078, 109sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z ) )
111110rexlimdva 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  ->  E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z ) )
11262, 111impbid 184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z  <->  E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
113 ffn 5524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
11416, 113ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  exp  Fn  CC
115 fvelimab 5714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )  -> 
( z  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
116114, 26, 115sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
117 fvelimab 5714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )  -> 
( ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
118114, 71, 117sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( z  /  ( exp `  x ) )  e.  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
119112, 116, 1183bitr4d 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  ( z  /  ( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
120119rabbi2dva 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( CC  i^i  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  /  ( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) } )
12121, 120syl5eqr 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) } )
122 eqid 2380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
123122mptpreima 5296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) " ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) }
124121, 123syl6eqr 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) "
( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
12566ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  e.  CC )
12675ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  =/=  0 )
127122divccncf 18800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( exp `  x
)  e.  CC  /\  ( exp `  x )  =/=  0 )  -> 
( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
128125, 126, 127syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
1291cncfcn1 18804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( J  Cn  J )
130128, 129syl6eleq 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
1311efopnlem2 20408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  e.  J
)
132131adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )
133 cnima 17244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )  ->  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) ) "
( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  e.  J )
134130, 132, 133syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
" ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  e.  J )
135124, 134eqeltrd 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )
136 blcntr 18331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
1376, 136mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
138 ffun 5526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  Fun 
exp )
13916, 138ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  exp
14016fdmi 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  exp  =  CC
14125, 140syl6sseqr 3331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  dom  exp )
142 funfvima2 5906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  exp  /\  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  dom  exp )  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
143139, 141, 142sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  ( exp `  x )  e.  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
144137, 143mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )
145144adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )
146 eleq2 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  y  <->  ( exp `  x )  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
147 sseq1 3305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( y  C_  ( exp " S )  <->  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) )
148146, 147anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) )  <-> 
( ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  /\  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) ) )
149148rspcev 2988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J  /\  ( ( exp `  x )  e.  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  /\  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
150149expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J  /\  ( exp `  x )  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  ->  ( ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
151135, 145, 150syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
15214, 151syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  S  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
153152expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( r  < 
pi  /\  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
154153rexlimdva 2766 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( E. r  e.  RR+  (
r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
1555, 13, 154sylc 58 . . . 4  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) )
156155ralrimiva 2725 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
157 eleq1 2440 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( z  e.  y  <->  ( exp `  x
)  e.  y ) )
158157anbi1d 686 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
159158rexbidv 2663 . . . . 5  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( E. y  e.  J  (
z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
160159ralima 5910 . . . 4  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  S  C_  CC )  -> 
( A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) )  <->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
161114, 4, 160sylancr 645 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  ( A. z  e.  ( exp " S ) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
162156, 161mpbird 224 . 2  |-  ( S  e.  J  ->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
1631cnfldtop 18682 . . 3  |-  J  e. 
Top
164 eltop2 16956 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( exp " S
)  e.  J  <->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
165163, 164ax-mp 8 . 2  |-  ( ( exp " S )  e.  J  <->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
166162, 165sylibr 204 1  |-  ( S  e.  J  ->  ( exp " S )  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646    i^i cin 3255    C_ wss 3256   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   `'ccnv 4810   dom cdm 4811   ran crn 4812   "cima 4814    o. ccom 4815   Fun wfun 5381    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   0cc0 8916    + caddc 8919    x. cmul 8921   RR*cxr 9045    < clt 9046    - cmin 9216    / cdiv 9602   RR+crp 10537   abscabs 11959   expce 12584   picpi 12589   TopOpenctopn 13569   * Metcxmt 16605   ballcbl 16607  ℂfldccnfld 16619   Topctop 16874  TopOnctopon 16875    Cn ccn 17203   -cn->ccncf 18770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ioc 10846  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-fac 11487  df-bc 11514  df-hash 11539  df-shft 11802  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-ef 12590  df-sin 12592  df-cos 12593  df-tan 12594  df-pi 12595  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-lp 17116  df-perf 17117  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-haus 17294  df-cmp 17365  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-cncf 18772  df-limc 19613  df-dv 19614  df-log 20314
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