Theorem efsep 7345

Description: Separate out the next term of the power series expansion of the exponential function. The last hypothesis allows the separated terms to be rearranged as desired. (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
efsep.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
efsep.2	|- A e. CC
efsep.3	|- M e. NN0
efsep.4	|- B e. CC
efsep.5	|- (exp` A) = (B + sum_k e. (ZZ>` M)(F` k))
efsep.6	|- (F` M) = C
efsep.7	|- N = (M + 1)
efsep.8	|- D = (B + C)

Assertion

Ref	Expression
efsep	|- (exp` A) = (D + sum_k e. (ZZ>` N)(F` k))

Distinct variable groups:   A,j,y   k,F   k,M

Proof of Theorem efsep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efsep.3	. . . . . 6 |- M e. NN0
2		nn0zt 6109	. . . . . 6 |- (M e. NN0 -> M e. ZZ)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- M e. ZZ
4		nn0uz 6378	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = (ZZ>` 0)
5	1, 4	eleqtr 1543	. . . . . . . . 9 |- M e. (ZZ>` 0)
6		uzss 6371	. . . . . . . . 9 |- (M e. (ZZ>` 0) -> (ZZ>` M) (_ (ZZ>` 0))
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (ZZ>` M) (_ (ZZ>` 0)
8	7	sseli 2061	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. (ZZ>` 0))
9		efsep.1	. . . . . . . . . 10 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
10		efsep.2	. . . . . . . . . . 11 |- A e. CC
11		eftclt 7253	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ j e. NN0) -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
12	10, 11	mpan 694	. . . . . . . . . 10 |- (j e. NN0 -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
13	9, 12	fopab 3818	. . . . . . . . 9 |- F:NN0-->CC
14		feq2 3613	. . . . . . . . . 10 |- (NN0 = (ZZ>` 0) -> (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>` 0)-->CC))
15	4, 14	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>` 0)-->CC)
16	13, 15	mpbi 189	. . . . . . . 8 |- F:(ZZ>` 0)-->CC
17	16	ffvelrni 3806	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` 0) -> (F` k) e. CC)
18	8, 17	syl 10	. . . . . 6 |- (k e. (ZZ>` M) -> (F` k) e. CC)
19	18	rgen 1695	. . . . 5 |- A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC
20		nn0p1nnt 6130	. . . . . . 7 |- (M e. NN0 -> (M + 1) e. NN)
21	1, 20	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (M + 1) e. NN
22	9	eftlext 7328	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ (M + 1) e. NN) -> E.x(<.(M + 1), + >. seq F) ~~> x)
23	10, 21, 22	mp2an 696	. . . . 5 |- E.x(<.(M + 1), + >. seq F) ~~> x
24		nn0ex 6060	. . . . . . 7 |- NN0 e. V
25	24, 9	fopabex2 3604	. . . . . 6 |- F e. V
26	25	isum1p 7149	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC /\ E.x(<.(M + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = ((F` M) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k)))
27	3, 19, 23, 26	mp3an 914	. . . 4 |- sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = ((F` M) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k))
28	27	opreq2i 3963	. . 3 |- (B + sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) = (B + ((F` M) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k)))
29		efsep.5	. . 3 |- (exp` A) = (B + sum_k e. (ZZ>` M)(F` k))
30		efsep.4	. . . 4 |- B e. CC
31	16	ffvelrni 3806	. . . . 5 |- (M e. (ZZ>` 0) -> (F` M) e. CC)
32	5, 31	ax-mp 7	. . . 4 |- (F` M) e. CC
33		nnzt 6108	. . . . . 6 |- ((M + 1) e. NN -> (M + 1) e. ZZ)
34	21, 33	ax-mp 7	. . . . 5 |- (M + 1) e. ZZ
35	25	isumclt 7152	. . . . 5 |- (((M + 1) e. ZZ /\ E.x(<.(M + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k) e. CC)
36	34, 23, 35	mp2an 696	. . . 4 |- sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k) e. CC
37	30, 32, 36	addass 5304	. . 3 |- ((B + (F` M)) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k)) = (B + ((F` M) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k)))
38	28, 29, 37	3eqtr4 1502	. 2 |- (exp` A) = ((B + (F` M)) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k))
39		efsep.8	. . . 4 |- D = (B + C)
40		efsep.6	. . . . . 6 |- (F` M) = C
41	40	eqcomi 1476	. . . . 5 |- C = (F` M)
42	41	opreq2i 3963	. . . 4 |- (B + C) = (B + (F` M))
43	39, 42	eqtr 1492	. . 3 |- D = (B + (F` M))
44		efsep.7	. . . . 5 |- N = (M + 1)
45	44	fveq2i 3718	. . . 4 |- (ZZ>` N) = (ZZ>` (M + 1))
46	45	sumeq1i 6933	. . 3 |- sum_k e. (ZZ>` N)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k)
47	43, 46	opreq12i 3964	. 2 |- (D + sum_k e. (ZZ>` N)(F` k)) = ((B + (F` M)) + sum_k e. (ZZ>` (M + 1))(F` k))
48	38, 47	eqtr4 1495	1 |- (exp` A) = (D + sum_k e. (ZZ>` N)(F` k))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  A.wral 1642   (_ wss 2043  <.cop 2407   class class class wbr 2614  {copab 2661  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   / cdiv 5274  NNcn 5276  NN0cn0 5277  ZZcz 5278  ZZ>cuz 6357   seq cseqz 6471  ^cexp 6508  !cfa 6876   ~~> cli 6920  sum_csu 6925  expce 7243

This theorem is referenced by:  ef4p 7348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-seq0 6474  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-fac 6877  df-clim 6921  df-sum 6926  df-ef 7248

Copyright terms: Public domain