Theorem ege2le3lem2 7279

Description: Lemma for ege2le3 7284.

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
erelem1.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}

Assertion

Ref	Expression
ege2le3lem2	|- (2 <_ e /\ e <_ 3)

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem ege2le3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addex 5297	. . . . . . 7 |- + e. V
2		nnex 5889	. . . . . . . 8 |- NN e. V
3		erelem1.2	. . . . . . . 8 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}
4	2, 3	fopabex2 3604	. . . . . . 7 |- G e. V
5	1, 4	seq11 6262	. . . . . 6 |- (( + seq1 G)` 1) = (G` 1)
6		1nn 5890	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
7		fveq2 3715	. . . . . . . . . 10 |- (x = 1 -> (!` x) = (!` 1))
8	7	opreq2d 3967	. . . . . . . . 9 |- (x = 1 -> (1 / (!` x)) = (1 / (!` 1)))
9		oprex 3974	. . . . . . . . 9 |- (1 / (!` 1)) e. V
10	8, 3, 9	fvopab4 3771	. . . . . . . 8 |- (1 e. NN -> (G` 1) = (1 / (!` 1)))
11	6, 10	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (G` 1) = (1 / (!` 1))
12		fac1 6880	. . . . . . . 8 |- (!` 1) = 1
13	12	opreq2i 3963	. . . . . . 7 |- (1 / (!` 1)) = (1 / 1)
14		ax1cn 5249	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
15	14	div1 5736	. . . . . . 7 |- (1 / 1) = 1
16	11, 13, 15	3eqtr 1496	. . . . . 6 |- (G` 1) = 1
17	5, 16	eqtr2 1493	. . . . 5 |- 1 = (( + seq1 G)` 1)
18		erelem1.1	. . . . . 6 |- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
19	18, 3	ege2le3lem1 7277	. . . . 5 |- (( + seq1 G)` 1) <_ sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
20	17, 19	eqbrtr 2629	. . . 4 |- 1 <_ sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
21		1re 5415	. . . . 5 |- 1 e. RR
22	18, 3	erelem5 7273	. . . . 5 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. RR
23	21, 22, 21	leadd2 5575	. . . 4 |- (1 <_ sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <-> (1 + 1) <_ (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < )))
24	20, 23	mpbi 189	. . 3 |- (1 + 1) <_ (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
25		df-2 5925	. . 3 |- 2 = (1 + 1)
26	18, 3	erelem6 7274	. . 3 |- e = (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
27	24, 25, 26	3brtr4 2638	. 2 |- 2 <_ e
28		2re 5934	. . . . . 6 |- 2 e. RR
29	28	elisseti 1814	. . . . 5 |- 2 e. V
30	18, 3	erelem1 7269	. . . . . 6 |- (F:NN-->RR /\ G:NN-->RR)
31	30	pm3.26i 320	. . . . 5 |- F:NN-->RR
32	30	pm3.27i 324	. . . . 5 |- G:NN-->RR
33	18, 3	erelem3 7271	. . . . 5 |- (z e. NN -> (0 <_ (G` z) /\ (G` z) <_ (F` z)))
34	18, 3	erelem2 7270	. . . . 5 |- ( + seq1 F) ~~> 2
35		ltso 5492	. . . . . 6 |- < Or RR
36	35	supex 4557	. . . . 5 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. V
37	18, 3	erelem4 7272	. . . . 5 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
38	29, 31, 32, 33, 34, 36, 37	cvgcmpub 7129	. . . 4 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ 2
39	22, 28, 21	leadd2 5575	. . . 4 |- (sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ 2 <-> (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < )) <_ (1 + 2))
40	38, 39	mpbi 189	. . 3 |- (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < )) <_ (1 + 2)
41		df-3 5926	. . . 4 |- 3 = (2 + 1)
42		2cn 5935	. . . . 5 |- 2 e. CC
43	42, 14	addcom 5302	. . . 4 |- (2 + 1) = (1 + 2)
44	41, 43	eqtr 1492	. . 3 |- 3 = (1 + 2)
45	40, 26, 44	3brtr4 2638	. 2 |- e <_ 3
46	27, 45	pm3.2i 285	1 |- (2 <_ e /\ e <_ 3)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  {copab 2661  ran crn 3166  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  supcsup 4553  RRcr 5213  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276   < clt 5466  2c2 5916  3c3 5917   seq1 cseq1 6252  ^cexp 6508  !cfa 6876  eceu 7244

This theorem is referenced by:  ege2le3 7284

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-seq0 6474  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-fac 6877  df-clim 6921  df-sum 6926  df-ef 7248  df-e 7249

Copyright terms: Public domain