Theorem ehm 10670

Description: The elements of a homset are morphisms. JFM CAT₁ th. 21.

Hypotheses

Ref	Expression
ehm.1	|- O = dom (id` T)
ehm.2	|- M = dom (dom` T)
ehm.5	|- H = (hom` T)

Assertion

Ref	Expression
ehm	|- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> F e. M))

Proof of Theorem ehm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehm.1	. . . . 5 |- O = dom (id` T)
2		ehm.2	. . . . 5 |- M = dom (dom` T)
3		eqid 1475	. . . . 5 |- (dom` T) = (dom` T)
4		eqid 1475	. . . . 5 |- (cod` T) = (cod` T)
5		ehm.5	. . . . 5 |- H = (hom` T)
6	1, 2, 3, 4, 5	ishomd 10669	. . . 4 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) <-> (F e. M /\ ((dom` T)` F) = A /\ ((cod` T)` F) = B)))
7	6	biimpa 416	. . 3 |- (((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> (F e. M /\ ((dom` T)` F) = A /\ ((cod` T)` F) = B))
8	7	3simp1d 793	. 2 |- (((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> F e. M)
9	8	ex 373	1 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> F e. M))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  <.cop 2409  dom cdm 3167  ` cfv 3179  domcdom_ 10595  codccod_ 10596  idcid_ 10597  Catccat 10636  homchom 10664

This theorem is referenced by:  cmphmia 10677  cmphmib 10678  cmpassoh 10680  homgrf 10681  imonclem 10690  idmon 10695

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-alg 10599  df-ded 10619  df-cat 10637  df-hom 10665

Copyright terms: Public domain