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Theorem eigorth 22364
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when  T is a Hermitian operator) for two eigenvectors 
A and  B to be orthogonal. Generalization of Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eigorth  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  /\  ( ( ( T `
 A )  =  ( C  .h  A
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) ) )  -> 
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) )

Proof of Theorem eigorth
StepHypRef Expression
1 fveq2 5444 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  A )  =  ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
2 oveq2 5786 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( C  .h  A )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
31, 2eqeq12d 2270 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  A
)  =  ( C  .h  A )  <->  ( T `  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
43anbi1d 688 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( T `  A )  =  ( C  .h  A )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  <->  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) ) ) )
54anbi1d 688 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 A )  =  ( C  .h  A
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) )  <->  ( (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) ) ) )
6 oveq1 5785 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B )
) )
71oveq1d 5793 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  A
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  B ) )
86, 7eqeq12d 2270 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )
) )
9 oveq1 5785 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
) )
109eqeq1d 2264 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  B
)  =  0  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) )
118, 10bibi12d 314 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) ) )
125, 11imbi12d 313 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  A )  =  ( C  .h  A )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) )  -> 
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) )  <->  ( (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) )  -> 
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) ) ) )
13 fveq2 5444 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  B )  =  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
14 oveq2 5786 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( D  .h  B )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
1513, 14eqeq12d 2270 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  B
)  =  ( D  .h  B )  <->  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
1615anbi2d 687 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  <->  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
1716anbi1d 688 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) )  <->  ( (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
) ) )
1813oveq2d 5794 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `
 if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )
19 oveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2018, 19eqeq12d 2270 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `
 if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
21 oveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2221eqeq1d 2264 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
)  =  0  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )
2320, 22bibi12d 314 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) )
2417, 23imbi12d 313 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) )  -> 
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) )  <-> 
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
)  ->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) ) )
25 oveq1 5785 . . . . . . 7  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) )
2625eqeq2d 2267 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  <->  ( T `  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C , 
0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
2726anbi1d 688 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  <->  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
28 neeq1 2427 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( C  =/=  (
* `  D )  <->  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D ) ) )
2927, 28anbi12d 694 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
)  <->  ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) ) ) )
3029imbi1d 310 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
)  ->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )  <->  ( (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) ) )
31 oveq1 5785 . . . . . . 7  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )
3231eqeq2d 2267 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( if ( D  e.  CC ,  D , 
0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
3332anbi2d 687 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  <->  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) ) )
34 fveq2 5444 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( * `  D
)  =  ( * `
 if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )
3534neeq2d 2433 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
)  <->  if ( C  e.  CC ,  C , 
0 )  =/=  (
* `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ) )
3633, 35anbi12d 694 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) )  <->  ( (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ) ) )
3736imbi1d 310 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )  <->  ( (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) ) )
38 ax-hv0cl 21529 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
3938elimel 3577 . . . 4  |-  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ~H
4038elimel 3577 . . . 4  |-  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  e.  ~H
41 0cn 8785 . . . . 5  |-  0  e.  CC
4241elimel 3577 . . . 4  |-  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  e.  CC
4341elimel 3577 . . . 4  |-  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  e.  CC
4439, 40, 42, 43eigorthi 22363 . . 3  |-  ( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )
4512, 24, 30, 37, 44dedth4h 3569 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( T `  A )  =  ( C  .h  A )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) )  ->  (
( A  .ih  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) ) )
4645imp 420 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  /\  ( ( ( T `
 A )  =  ( C  .h  A
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) ) )  -> 
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   ifcif 3525   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   CCcc 8689   0cc0 8691   *ccj 11532   ~Hchil 21445    .h csm 21447    .ih csp 21448   0hc0v 21450
This theorem is referenced by:  eighmorth  22490
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-hv0cl 21529  ax-hfvmul 21531  ax-hfi 21604  ax-his1 21607  ax-his3 21609
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-iota 6211  df-riota 6258  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-2 9758  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537
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