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Theorem eigorth 22434
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when  T is a Hermitian operator) for two eigenvectors 
A and  B to be orthogonal. Generalization of Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eigorth  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  /\  ( ( ( T `
 A )  =  ( C  .h  A
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) ) )  -> 
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) )

Proof of Theorem eigorth
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  A )  =  ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
2 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( C  .h  A )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
31, 2eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  A
)  =  ( C  .h  A )  <->  ( T `  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
43anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( T `  A )  =  ( C  .h  A )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  <->  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) ) ) )
54anbi1d 685 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 A )  =  ( C  .h  A
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) )  <->  ( (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) ) ) )
6 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B )
) )
71oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  A
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  B ) )
86, 7eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )
) )
9 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
) )
109eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  B
)  =  0  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) )
118, 10bibi12d 312 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) ) )
125, 11imbi12d 311 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  A )  =  ( C  .h  A )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) )  -> 
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) )  <->  ( (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) )  -> 
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) ) ) )
13 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  B )  =  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
14 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( D  .h  B )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
1513, 14eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  B
)  =  ( D  .h  B )  <->  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
1615anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  <->  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
1716anbi1d 685 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) )  <->  ( (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
) ) )
1813oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `
 if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )
19 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2018, 19eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `
 if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
21 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2221eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
)  =  0  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )
2320, 22bibi12d 312 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) )
2417, 23imbi12d 311 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) )  -> 
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) )  <-> 
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
)  ->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) ) )
25 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) )
2625eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  <->  ( T `  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C , 
0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
2726anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  <->  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
28 neeq1 2467 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( C  =/=  (
* `  D )  <->  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D ) ) )
2927, 28anbi12d 691 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
)  <->  ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) ) ) )
3029imbi1d 308 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
)  ->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )  <->  ( (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) ) )
31 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )
3231eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( if ( D  e.  CC ,  D , 
0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
3332anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  <->  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) ) )
34 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( * `  D
)  =  ( * `
 if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )
3534neeq2d 2473 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
)  <->  if ( C  e.  CC ,  C , 
0 )  =/=  (
* `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ) )
3633, 35anbi12d 691 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) )  <->  ( (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ) ) )
3736imbi1d 308 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )  <->  ( (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) ) )
38 ax-hv0cl 21599 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
3938elimel 3630 . . . 4  |-  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ~H
4038elimel 3630 . . . 4  |-  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  e.  ~H
41 0cn 8847 . . . . 5  |-  0  e.  CC
4241elimel 3630 . . . 4  |-  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  e.  CC
4341elimel 3630 . . . 4  |-  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  e.  CC
4439, 40, 42, 43eigorthi 22433 . . 3  |-  ( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )
4512, 24, 30, 37, 44dedth4h 3622 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( T `  A )  =  ( C  .h  A )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) )  ->  (
( A  .ih  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) ) )
4645imp 418 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  /\  ( ( ( T `
 A )  =  ( C  .h  A
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) ) )  -> 
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   ifcif 3578   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   *ccj 11597   ~Hchil 21515    .h csm 21517    .ih csp 21518   0hc0v 21520
This theorem is referenced by:  eighmorth  22560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-hv0cl 21599  ax-hfvmul 21601  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his3 21679
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602
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