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Theorem eigorth 22411
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when  T is a Hermitian operator) for two eigenvectors 
A and  B to be orthogonal. Generalization of Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eigorth  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  /\  ( ( ( T `
 A )  =  ( C  .h  A
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) ) )  -> 
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) )

Proof of Theorem eigorth
StepHypRef Expression
1 fveq2 5486 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  A )  =  ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
2 oveq2 5828 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( C  .h  A )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
31, 2eqeq12d 2299 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  A
)  =  ( C  .h  A )  <->  ( T `  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
43anbi1d 687 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( T `  A )  =  ( C  .h  A )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  <->  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) ) ) )
54anbi1d 687 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 A )  =  ( C  .h  A
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) )  <->  ( (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) ) ) )
6 oveq1 5827 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B )
) )
71oveq1d 5835 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  A
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  B ) )
86, 7eqeq12d 2299 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )
) )
9 oveq1 5827 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
) )
109eqeq1d 2293 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  B
)  =  0  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) )
118, 10bibi12d 314 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) ) )
125, 11imbi12d 313 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  A )  =  ( C  .h  A )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) )  -> 
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) )  <->  ( (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) )  -> 
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) ) ) )
13 fveq2 5486 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  B )  =  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
14 oveq2 5828 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( D  .h  B )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
1513, 14eqeq12d 2299 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  B
)  =  ( D  .h  B )  <->  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
1615anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  <->  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
1716anbi1d 687 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) )  <->  ( (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
) ) )
1813oveq2d 5836 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `
 if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )
19 oveq2 5828 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2018, 19eqeq12d 2299 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `
 if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
21 oveq2 5828 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2221eqeq1d 2293 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
)  =  0  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )
2320, 22bibi12d 314 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) )
2417, 23imbi12d 313 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) )  -> 
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) )  <-> 
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
)  ->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) ) )
25 oveq1 5827 . . . . . . 7  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) )
2625eqeq2d 2296 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  <->  ( T `  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C , 
0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
2726anbi1d 687 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  <->  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
28 neeq1 2456 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( C  =/=  (
* `  D )  <->  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D ) ) )
2927, 28anbi12d 693 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
)  <->  ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) ) ) )
3029imbi1d 310 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
)  ->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )  <->  ( (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) ) )
31 oveq1 5827 . . . . . . 7  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )
3231eqeq2d 2296 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( if ( D  e.  CC ,  D , 
0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
3332anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  <->  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) ) )
34 fveq2 5486 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( * `  D
)  =  ( * `
 if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )
3534neeq2d 2462 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
)  <->  if ( C  e.  CC ,  C , 
0 )  =/=  (
* `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ) )
3633, 35anbi12d 693 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) )  <->  ( (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ) ) )
3736imbi1d 310 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )  <->  ( (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) ) )
38 ax-hv0cl 21576 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
3938elimel 3619 . . . 4  |-  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ~H
4038elimel 3619 . . . 4  |-  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  e.  ~H
41 0cn 8827 . . . . 5  |-  0  e.  CC
4241elimel 3619 . . . 4  |-  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  e.  CC
4341elimel 3619 . . . 4  |-  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  e.  CC
4439, 40, 42, 43eigorthi 22410 . . 3  |-  ( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )
4512, 24, 30, 37, 44dedth4h 3611 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( T `  A )  =  ( C  .h  A )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) )  ->  (
( A  .ih  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) ) )
4645imp 420 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  /\  ( ( ( T `
 A )  =  ( C  .h  A
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) ) )  -> 
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448   ifcif 3567   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   CCcc 8731   0cc0 8733   *ccj 11576   ~Hchil 21492    .h csm 21494    .ih csp 21495   0hc0v 21497
This theorem is referenced by:  eighmorth  22537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-hv0cl 21576  ax-hfvmul 21578  ax-hfi 21651  ax-his1 21654  ax-his3 21656
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-2 9800  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581
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