Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigorthi Unicode version

Theorem eigorthi 22413
 Description: A necessary and sufficient condition (that holds when is a Hermitian operator) for two eigenvectors and to be orthogonal. Generalization of Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eigorthi.1
eigorthi.2
eigorthi.3
eigorthi.4
Assertion
Ref Expression
eigorthi

Proof of Theorem eigorthi
StepHypRef Expression
1 oveq2 5828 . . . 4
2 eigorthi.4 . . . . 5
3 eigorthi.1 . . . . 5
4 eigorthi.2 . . . . 5
5 his5 21661 . . . . 5
62, 3, 4, 5mp3an 1277 . . . 4
71, 6syl6eq 2332 . . 3
8 oveq1 5827 . . . 4
9 eigorthi.3 . . . . 5
10 ax-his3 21659 . . . . 5
119, 3, 4, 10mp3an 1277 . . . 4
128, 11syl6eq 2332 . . 3
137, 12eqeqan12rd 2300 . 2
143, 4hicli 21656 . . . . . . . 8
152cjcli 11650 . . . . . . . . 9
16 mulcan2 9402 . . . . . . . . 9
1715, 9, 16mp3an12 1267 . . . . . . . 8
1814, 17mpan 651 . . . . . . 7
19 eqcom 2286 . . . . . . 7
2018, 19syl6bb 252 . . . . . 6
2120biimpcd 215 . . . . 5
2221necon1d 2516 . . . 4
2322com12 27 . . 3
24 oveq2 5828 . . . 4
25 oveq2 5828 . . . . 5
269mul01i 8998 . . . . . 6
2715mul01i 8998 . . . . . 6
2826, 27eqtr4i 2307 . . . . 5
2925, 28syl6eq 2332 . . . 4
3024, 29eqtr4d 2319 . . 3
3123, 30impbid1 194 . 2
3213, 31sylan9bb 680 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1685   wne 2447  cfv 5221  (class class class)co 5820  cc 8731  cc0 8733   cmul 8738  ccj 11577  chil 21495   csm 21497   csp 21498 This theorem is referenced by:  eigorth  22414 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-hfvmul 21581  ax-hfi 21654  ax-his1 21657  ax-his3 21659 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-2 9800  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582
 Copyright terms: Public domain W3C validator