Theorem eigvalvalt 9763

Description: The eigenvalues of eigenvectors of a Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
eigvalvalt	|- (T:H~-->H~ -> (eigval` T) = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))})

Distinct variable group:   x,y,T

Proof of Theorem eigvalvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3723	. . 3 |- (eigvec` T) e. V
2	1	opabex2 3602	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))} e. V
3		ax-hilex 8808	. 2 |- H~ e. V
4		fveq2 3715	. . . . 5 |- (t = T -> (eigvec` t) = (eigvec` T))
5	4	eleq2d 1538	. . . 4 |- (t = T -> (x e. (eigvec` t) <-> x e. (eigvec` T)))
6		fveq1 3714	. . . . . . 7 |- (t = T -> (t` x) = (T` x))
7	6	opreq1d 3966	. . . . . 6 |- (t = T -> ((t` x) .ih x) = ((T` x) .ih x))
8	7	opreq1d 3966	. . . . 5 |- (t = T -> (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2)) = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))
9	8	eqeq2d 1483	. . . 4 |- (t = T -> (y = (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2)) <-> y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2))))
10	5, 9	anbi12d 627	. . 3 |- (t = T -> ((x e. (eigvec` t) /\ y = (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2))) <-> (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))))
11	10	opabbidv 2665	. 2 |- (t = T -> {<.x, y>. | (x e. (eigvec` t) /\ y = (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))} = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))})
12		df-eigval 9720	. 2 |- eigval = {<.t, z>. | (t:H~-->H~ /\ z = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` t) /\ y = (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))})}
13	2, 3, 3, 11, 12	fvopabf4 4330	1 |- (T:H~-->H~ -> (eigval` T) = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {copab 2661  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954   / cdiv 5274  2c2 5916  ^cexp 6508  H~chil 8727   .ih csp 8732  normhcno 8733  eigveccei 8767  eigvalcel 8768

This theorem is referenced by:  eigvalt 9823

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-hilex 8808

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-map 4314  df-eigval 9720

Copyright terms: Public domain