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Theorem eirrlem 12498
Description: Lemma for eirr 12499. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eirr.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
eirr.2  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
eirr.3  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
eirr.4  |-  ( ph  ->  _e  =  ( P  /  Q ) )
Assertion
Ref Expression
eirrlem  |-  -.  ph
Distinct variable group:    Q, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    P( n)    F( n)

Proof of Theorem eirrlem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum 12378 . . . . . . . . . 10  |-  _e  =  sum_ k  e.  NN0  (
1  /  ( ! `
 k ) )
2 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
32oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
4 eirr.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
5 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e. 
_V
63, 4, 5fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
76sumeq2i 12188 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN0  ( F `  k )  =  sum_ k  e.  NN0  ( 1  /  ( ! `  k ) )
81, 7eqtr4i 2319 . . . . . . . . 9  |-  _e  =  sum_ k  e.  NN0  ( F `  k )
9 nn0uz 10278 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
10 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) )
11 eirr.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
1211peano2nnd 9779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  NN )
1312nnnn0d 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  NN0 )
14 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
15 nn0z 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
16 1exp 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
1817oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
1918mpteq2ia 4118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
204, 19eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
) )
2120eftval 12374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( ( 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )
2221adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
23 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
2423a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
25 eftcl 12371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
2624, 25sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
2722, 26eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
2820efcllem 12375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
2924, 28syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
309, 10, 13, 14, 27, 29isumsplit 12315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  ( F `  k )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... (
( Q  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) ) )
318, 30syl5eq 2340 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  _e  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( Q  +  1 )  - 
1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
3211nncnd 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
33 pncan 9073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( Q  + 
1 )  -  1 )  =  Q )
3432, 23, 33sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  -  1 )  =  Q )
3534oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( Q  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... Q ) )
3635sumeq1d 12190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( Q  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  k
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) )
3736oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( Q  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) ) )
3831, 37eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  _e  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
3938oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( _e  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) ) )
40 fzfid 11051 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ... Q
)  e.  Fin )
41 elfznn0 10838 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... Q )  ->  k  e.  NN0 )
4241, 27sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
4340, 42fsumcl 12222 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
)  e.  CC )
446adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  /  ( ! `
 k ) ) )
45 faccl 11314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4645adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4746nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR+ )
4847rpreccld 10416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e.  RR+ )
4944, 48eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  RR+ )
509, 10, 13, 14, 49, 29isumrpcl 12318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR+ )
5150rpred 10406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )
5251recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  CC )
5343, 52pncan2d 9175 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )
5439, 53eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _e  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) )
5554oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  (
_e  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 Q )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
5611nnnn0d 10034 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN0 )
57 faccl 11314 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  NN0  ->  ( ! `
 Q )  e.  NN )
5856, 57syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  Q
)  e.  NN )
5958nncnd 9778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  Q
)  e.  CC )
60 ere 12386 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
6160recni 8865 . . . . . 6  |-  _e  e.  CC
6261a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  _e  e.  CC )
6359, 62, 43subdid 9251 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  (
_e  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) )  =  ( ( ( ! `  Q )  x.  _e )  -  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) ) ) )
6455, 63eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  =  ( ( ( ! `  Q )  x.  _e )  -  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) ) ) )
65 eirr.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  _e  =  ( P  /  Q ) )
6665oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  _e )  =  ( ( ! `  Q )  x.  ( P  /  Q
) ) )
67 eirr.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
6867zcnd 10134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
6911nnne0d 9806 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  =/=  0 )
7059, 68, 32, 69div12d 9588 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  ( P  /  Q ) )  =  ( P  x.  ( ( ! `  Q )  /  Q
) ) )
7166, 70eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  _e )  =  ( P  x.  ( ( ! `  Q )  /  Q
) ) )
7211nnred 9777 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
7372leidd 9355 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  <_  Q )
74 facdiv 11316 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  NN0  /\  Q  e.  NN  /\  Q  <_  Q )  ->  (
( ! `  Q
)  /  Q )  e.  NN )
7556, 11, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  /  Q
)  e.  NN )
7675nnzd 10132 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  /  Q
)  e.  ZZ )
7767, 76zmulcld 10139 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( ! `  Q
)  /  Q ) )  e.  ZZ )
7871, 77eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  _e )  e.  ZZ )
7940, 59, 42fsummulc2 12262 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( ( ! `
 Q )  x.  ( F `  k
) ) )
8041adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  k  e.  NN0 )
8180, 6syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
8281oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  x.  ( F `
 k ) )  =  ( ( ! `
 Q )  x.  ( 1  /  ( ! `  k )
) ) )
8359adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( ! `  Q )  e.  CC )
8441, 46sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
8584nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
86 facne0 11315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  =/=  0 )
8780, 86syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
8883, 85, 87divrecd 9555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ! `
 Q )  x.  ( 1  /  ( ! `  k )
) ) )
8982, 88eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  x.  ( F `
 k ) )  =  ( ( ! `
 Q )  / 
( ! `  k
) ) )
90 permnn 11352 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... Q )  ->  (
( ! `  Q
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  NN )
9190adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  NN )
9289, 91eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  x.  ( F `
 k ) )  e.  NN )
9392nnzd 10132 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  x.  ( F `
 k ) )  e.  ZZ )
9440, 93fsumzcl 12224 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( ( ! `  Q )  x.  ( F `  k )
)  e.  ZZ )
9579, 94eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) )  e.  ZZ )
9678, 95zsubcld 10138 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 Q )  x.  _e )  -  (
( ! `  Q
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) )  e.  ZZ )
9764, 96eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  e.  ZZ )
98 0z 10051 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
9998a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
10058nnrpd 10405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  Q
)  e.  RR+ )
101100, 50rpmulcld 10422 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  e.  RR+ )
102101rpgt0d 10409 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
10312peano2nnd 9779 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  e.  NN )
104103nnred 9777 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  e.  RR )
105 faccl 11314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  e.  NN )
10613, 105syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( Q  +  1 ) )  e.  NN )
107106, 12nnmulcld 9809 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) )  e.  NN )
108104, 107nndivred 9810 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) )  e.  RR )
10958nnrecred 9807 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( ! `  Q )
)  e.  RR )
110 abs1 11798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  1 )  =  1
111110oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  1 ) ^ n )  =  ( 1 ^ n
)
112111oveq1i 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  1
) ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
)
113112mpteq2i 4119 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  1
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
11420, 113eqtr4i 2319 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  1 ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
115 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  1
) ^ ( Q  +  1 ) )  /  ( ! `  ( Q  +  1
) ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( Q  + 
1 )  +  1 ) ) ^ n
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  1 ) ^ ( Q  + 
1 ) )  / 
( ! `  ( Q  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  (
( Q  +  1 )  +  1 ) ) ^ n ) ) )
116 1le1 9412 . . . . . . . . . 10  |-  1  <_  1
117110, 116eqbrtri 4058 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  <_ 
1
118117a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  1
)  <_  1 )
11920, 114, 115, 12, 24, 118eftlub 12405 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  1 ) ^ ( Q  + 
1 ) )  x.  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) ) )
12050rprege0d 10413 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
121 absid 11797 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) )
122120, 121syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )
123110oveq1i 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  1 ) ^ ( Q  + 
1 ) )  =  ( 1 ^ ( Q  +  1 ) )
12412nnzd 10132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  ZZ )
125 1exp 11147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( Q  +  1 ) )  =  1 )
126124, 125syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ ( Q  +  1 ) )  =  1 )
127123, 126syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  1
) ^ ( Q  +  1 ) )  =  1 )
128127oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  1 ) ^
( Q  +  1 ) )  x.  (
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) ) )
129108recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) )  e.  CC )
130129mulid2d 8869 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) )
131128, 130eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  1 ) ^
( Q  +  1 ) )  x.  (
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) )
132119, 122, 1313brtr3d 4068 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) )
13312nnred 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  RR )
134133, 133readdcld 8878 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  ( Q  +  1 ) )  e.  RR )
135133, 133remulcld 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  x.  ( Q  +  1 ) )  e.  RR )
136 1re 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
137136a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
13811nnge1d 9804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <_  Q )
139 1nn 9773 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
140 nnleltp1 10087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  Q  e.  NN )  ->  ( 1  <_  Q  <->  1  <  ( Q  + 
1 ) ) )
141139, 11, 140sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  Q  <->  1  <  ( Q  + 
1 ) ) )
142138, 141mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( Q  +  1 ) )
143137, 133, 133, 142ltadd2dd 8991 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  <  ( ( Q  +  1 )  +  ( Q  + 
1 ) ) )
14412nncnd 9778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  CC )
1451442timesd 9970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( Q  +  1 )  +  ( Q  + 
1 ) ) )
146 df-2 9820 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
147137, 72, 137, 138leadd1dd 9402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  <_  ( Q  +  1 ) )
148146, 147syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <_  ( Q  +  1 ) )
149 2re 9831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
150149a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
15112nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  ( Q  +  1 ) )
152 lemul1 9624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Q  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( Q  + 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( Q  +  1 ) ) )  ->  ( 2  <_  ( Q  + 
1 )  <->  ( 2  x.  ( Q  + 
1 ) )  <_ 
( ( Q  + 
1 )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) )
153150, 133, 133, 151, 152syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  <_  ( Q  +  1 )  <-> 
( 2  x.  ( Q  +  1 ) )  <_  ( ( Q  +  1 )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )
154148, 153mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Q  +  1 ) )  <_  ( ( Q  +  1 )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
155145, 154eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  ( Q  +  1 ) )  <_  ( ( Q  +  1 )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
156104, 134, 135, 143, 155ltletrd 8992 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  <  ( ( Q  +  1 )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
157 facp1 11309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Q  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  Q )  x.  ( Q  +  1 ) ) )
15856, 157syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( ! `  Q )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
159158oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( Q  +  1
) )  /  ( ! `  Q )
)  =  ( ( ( ! `  Q
)  x.  ( Q  +  1 ) )  /  ( ! `  Q ) ) )
160106nncnd 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( Q  +  1 ) )  e.  CC )
16158nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ! `  Q
)  =/=  0 )
162160, 59, 161divrecd 9555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( Q  +  1
) )  /  ( ! `  Q )
)  =  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
163144, 59, 161divcan3d 9557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 Q )  x.  ( Q  +  1 ) )  /  ( ! `  Q )
)  =  ( Q  +  1 ) )
164159, 162, 1633eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  =  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
165164oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  x.  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  /  ( ! `  Q ) ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
166109recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( ! `  Q )
)  e.  CC )
167160, 166, 144mul32d 9038 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( 1  /  ( ! `  Q )
) )  x.  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
168165, 167eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  x.  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
169156, 168breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  <  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
170107nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) )  e.  RR )
171107nngt0d 9805 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
172 ltdivmul 9644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  e.  RR  /\  ( 1  /  ( ! `  Q )
)  e.  RR  /\  ( ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )  <  ( 1  / 
( ! `  Q
) )  <->  ( ( Q  +  1 )  +  1 )  < 
( ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  (
1  /  ( ! `
 Q ) ) ) ) )
173104, 109, 170, 171, 172syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) ) )  <  (
1  /  ( ! `
 Q ) )  <-> 
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  <  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) ) )
174169, 173mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) )  <  ( 1  /  ( ! `  Q ) ) )
17551, 108, 109, 132, 174lelttrd 8990 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  <  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) )
17651, 137, 100ltmuldiv2d 10450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 Q )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  <  1  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k )  < 
( 1  /  ( ! `  Q )
) ) )
177175, 176mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  <  1 )
178 0p1e1 9855 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
179177, 178syl6breqr 4079 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  <  ( 0  +  1 ) )
180 btwnnz 10104 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ! `
 Q )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  /\  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  <  ( 0  +  1 ) )  ->  -.  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  e.  ZZ )
18199, 102, 179, 180syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( ( ! `
 Q )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  e.  ZZ )
18297, 181pm2.65i 165 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798    seq cseq 11062   ^cexp 11120   !cfa 11304   abscabs 11735    ~~> cli 11974   sum_csu 12174   _eceu 12360
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366
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