Theorem eirrlem1 7338

Description: Lemma for eirr 7343.

Hypothesis

Ref	Expression
eirrlem1.1	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
eirrlem1	|- ((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1

Proof of Theorem eirrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eirrlem1.1	. . . 4 |- N e. NN
2		nnge1t 5899	. . . 4 |- (N e. NN -> 1 <_ N)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- 1 <_ N
4		1nn0 6069	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
5	1	nnnn0 6062	. . . . . 6 |- N e. NN0
6		nn0leltp1t 6083	. . . . . 6 |- ((1 e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 <_ N <-> 1 < (N + 1)))
7	4, 5, 6	mp2an 696	. . . . 5 |- (1 <_ N <-> 1 < (N + 1))
8	3, 7	mpbi 189	. . . 4 |- 1 < (N + 1)
9	1	nnre 5887	. . . . 5 |- N e. RR
10		peano2nn 5891	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (N + 1) e. NN)
11	1, 10	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (N + 1) e. NN
12	11	nnre 5887	. . . . 5 |- (N + 1) e. RR
13	1	nngt0 5906	. . . . 5 |- 0 < N
14		ltmulgt11t 5810	. . . . 5 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR /\ 0 < N) -> (1 < (N + 1) <-> N < (N x. (N + 1))))
15	9, 12, 13, 14	mp3an 914	. . . 4 |- (1 < (N + 1) <-> N < (N x. (N + 1)))
16	8, 15	mpbi 189	. . 3 |- N < (N x. (N + 1))
17		1re 5415	. . . 4 |- 1 e. RR
18	9, 12	remulcl 5315	. . . 4 |- (N x. (N + 1)) e. RR
19	17, 9, 18	lelttr 5568	. . 3 |- ((1 <_ N /\ N < (N x. (N + 1))) -> 1 < (N x. (N + 1)))
20	3, 16, 19	mp2an 696	. 2 |- 1 < (N x. (N + 1))
21		2re 5934	. . . . 5 |- 2 e. RR
22	9, 21	readdcl 5314	. . . 4 |- (N + 2) e. RR
23	12	resqcl 6562	. . . 4 |- ((N + 1)^2) e. RR
24	11	nnne0 5907	. . . . . 6 |- (N + 1) =/= 0
25	12	sqgt0 6566	. . . . . 6 |- ((N + 1) =/= 0 -> 0 < ((N + 1)^2))
26	24, 25	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 < ((N + 1)^2)
27		ltdivmult 5827	. . . . 5 |- ((((N + 2) e. RR /\ ((N + 1)^2) e. RR /\ 1 e. RR) /\ 0 < ((N + 1)^2)) -> (((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1 <-> (N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1)))
28	26, 27	mpan2 695	. . . 4 |- (((N + 2) e. RR /\ ((N + 1)^2) e. RR /\ 1 e. RR) -> (((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1 <-> (N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1)))
29	22, 23, 17, 28	mp3an 914	. . 3 |- (((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1 <-> (N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1))
30	23	recn 5294	. . . . . . 7 |- ((N + 1)^2) e. CC
31	30	mulid1 5312	. . . . . 6 |- (((N + 1)^2) x. 1) = ((N + 1)^2)
32	11	nncn 5888	. . . . . . . 8 |- (N + 1) e. CC
33	32	sqval 6552	. . . . . . 7 |- ((N + 1)^2) = ((N + 1) x. (N + 1))
34	1	nncn 5888	. . . . . . . 8 |- N e. CC
35		ax1cn 5249	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
36	34, 35, 32	adddir 5307	. . . . . . 7 |- ((N + 1) x. (N + 1)) = ((N x. (N + 1)) + (1 x. (N + 1)))
37	32	mulid2 5313	. . . . . . . 8 |- (1 x. (N + 1)) = (N + 1)
38	37	opreq2i 3963	. . . . . . 7 |- ((N x. (N + 1)) + (1 x. (N + 1))) = ((N x. (N + 1)) + (N + 1))
39	33, 36, 38	3eqtr 1496	. . . . . 6 |- ((N + 1)^2) = ((N x. (N + 1)) + (N + 1))
40	31, 39	eqtr 1492	. . . . 5 |- (((N + 1)^2) x. 1) = ((N x. (N + 1)) + (N + 1))
41	40	breq2i 2622	. . . 4 |- ((N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1) <-> (N + 2) < ((N x. (N + 1)) + (N + 1)))
42	22, 12, 18	ltsubadd 5576	. . . 4 |- (((N + 2) - (N + 1)) < (N x. (N + 1)) <-> (N + 2) < ((N x. (N + 1)) + (N + 1)))
43		2cn 5935	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
44		pnpcant 5458	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ 2 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((N + 2) - (N + 1)) = (2 - 1))
45	34, 43, 35, 44	mp3an 914	. . . . . 6 |- ((N + 2) - (N + 1)) = (2 - 1)
46		df-2 5925	. . . . . . . 8 |- 2 = (1 + 1)
47	46	eqcomi 1476	. . . . . . 7 |- (1 + 1) = 2
48	43, 35, 35, 47	subaddri 5352	. . . . . 6 |- (2 - 1) = 1
49	45, 48	eqtr 1492	. . . . 5 |- ((N + 2) - (N + 1)) = 1
50	49	breq1i 2621	. . . 4 |- (((N + 2) - (N + 1)) < (N x. (N + 1)) <-> 1 < (N x. (N + 1)))
51	41, 42, 50	3bitr2 179	. . 3 |- ((N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1) <-> 1 < (N x. (N + 1)))
52	29, 51	bitr 173	. 2 |- (((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1 <-> 1 < (N x. (N + 1)))
53	20, 52	mpbir 190	1 |- ((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   - cmin 5272   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276  NN0cn0 5277   < clt 5466  2c2 5916  ^cexp 6508

This theorem is referenced by:  eirrlem3 7340

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509

Copyright terms: Public domain