Theorem eirrlem4 7392

Description: Lemma for eirr 7394.

Hypotheses

Ref	Expression
eirrlem2.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
eirrlem2.2	|- P e. ZZ
eirrlem2.3	|- Q e. NN

Assertion

Ref	Expression
eirrlem4	|- 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))

Distinct variable groups:   k,F   Q,j,k,y

Proof of Theorem eirrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eirrlem2.3	. . . . 5 |- Q e. NN
2	1	nnnn0 6109	. . . 4 |- Q e. NN0
3		facclt 6940	. . . 4 |- (Q e. NN0 -> (!` Q) e. NN)
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- (!` Q) e. NN
5	4	nnre 5933	. 2 |- (!` Q) e. RR
6		nn0p1nnt 6177	. . . . . 6 |- (Q e. NN0 -> (Q + 1) e. NN)
7	2, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- (Q + 1) e. NN
8	7	nnnn0 6109	. . . 4 |- (Q + 1) e. NN0
9		nn0zt 6156	. . . 4 |- ((Q + 1) e. NN0 -> (Q + 1) e. ZZ)
10	8, 9	ax-mp 7	. . 3 |- (Q + 1) e. ZZ
11		nn0uz 6439	. . . . . . 7 |- NN0 = (ZZ>` 0)
12	8, 11	eleqtr 1549	. . . . . 6 |- (Q + 1) e. (ZZ>` 0)
13		uztrn 6429	. . . . . 6 |- ((k e. (ZZ>` (Q + 1)) /\ (Q + 1) e. (ZZ>` 0)) -> k e. (ZZ>` 0))
14	12, 13	mpan2 698	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` (Q + 1)) -> k e. (ZZ>` 0))
15		elnn0uz 6442	. . . . . 6 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>` 0))
16		eirrlem2.1	. . . . . . . 8 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
17	16	eftval 7316	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((1^k) / (!` k)))
18		1re 5447	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
19		reeftclt 7374	. . . . . . . 8 |- ((1 e. RR /\ k e. NN0) -> ((1^k) / (!` k)) e. RR)
20	18, 19	mpan 697	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> ((1^k) / (!` k)) e. RR)
21	17, 20	eqeltrd 1551	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. RR)
22	15, 21	sylbir 201	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` 0) -> (F` k) e. RR)
23	14, 22	syl 10	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` (Q + 1)) -> (F` k) e. RR)
24	23	rgen 1701	. . 3 |- A.k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR
25		ax1cn 5281	. . . 4 |- 1 e. CC
26	16	eftlext 7378	. . . 4 |- ((1 e. CC /\ (Q + 1) e. NN) -> E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x)
27	25, 7, 26	mp2an 699	. . 3 |- E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x
28		nn0ex 6107	. . . . 5 |- NN0 e. V
29	28, 16	fopabex2 3618	. . . 4 |- F e. V
30	29	isumreclt 7210	. . 3 |- (((Q + 1) e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR /\ E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR)
31	10, 24, 27, 30	mp3an 918	. 2 |- sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR
32	4	nngt0 5952	. 2 |- 0 < (!` Q)
33		divgt0t 5857	. . . . . . . 8 |- ((((1^k) e. RR /\ 0 < (1^k)) /\ ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k))) -> 0 < ((1^k) / (!` k)))
34		1expt 6585	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (1^k) = 1)
35	34, 18	syl6eqel 1559	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (1^k) e. RR)
36		lt01 5692	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
37	34, 36	syl5breqr 2656	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> 0 < (1^k))
38	35, 37	jca 288	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> ((1^k) e. RR /\ 0 < (1^k)))
39		facclt 6940	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
40		nnret 5931	. . . . . . . . . 10 |- ((!` k) e. NN -> (!` k) e. RR)
41		nngt0t 5948	. . . . . . . . . 10 |- ((!` k) e. NN -> 0 < (!` k))
42	40, 41	jca 288	. . . . . . . . 9 |- ((!` k) e. NN -> ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k)))
43	39, 42	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k)))
44	33, 38, 43	sylanc 473	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> 0 < ((1^k) / (!` k)))
45	44, 17	breqtrrd 2646	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> 0 < (F` k))
46	21, 45	jca 288	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k)))
47	15, 46	sylbir 201	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` 0) -> ((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k)))
48	47	rgen 1701	. . 3 |- A.k e. (ZZ>` 0)((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k))
49	16	efseq0ex 7311	. . . . 5 |- (1 e. CC -> E.x( + seq0 F) ~~> x)
50	25, 49	ax-mp 7	. . . 4 |- E.x( + seq0 F) ~~> x
51		addex 5329	. . . . . . 7 |- + e. V
52	51, 29	seq0seqz 6543	. . . . . 6 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
53	52	breq1i 2631	. . . . 5 |- (( + seq0 F) ~~> x <-> (<.0, + >. seq F) ~~> x)
54	53	exbii 1053	. . . 4 |- (E.x( + seq0 F) ~~> x <-> E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x)
55	50, 54	mpbi 189	. . 3 |- E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x
56	29	iserzgt0 7211	. . 3 |- (((Q + 1) e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (ZZ>` 0)((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k)) /\ E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x) -> 0 < sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))
57	12, 48, 55, 56	mp3an 918	. 2 |- 0 < sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)
58	5, 31, 32, 57	mulgt0i 5620	1 |- 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  <.cop 2415   class class class wbr 2624  {copab 2671  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251   / cdiv 5306  NNcn 5308  NN0cn0 5309  ZZcz 5310   < clt 5498  ZZ>cuz 6418   seq cseqz 6532   seq0 cseq0 6533  ^cexp 6569  !cfa 6931   ~~> cli 6974  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  eirrlem5 7393

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain