Theorem eirrlem5 7342

Description: Lemma for eirr 7343.

Hypotheses

Ref	Expression
eirrlem2.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
eirrlem2.2	|- P e. ZZ
eirrlem2.3	|- Q e. NN

Assertion

Ref	Expression
eirrlem5	|- -. e = (P / Q)

Distinct variable group:   Q,j,y

Proof of Theorem eirrlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 6101	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		eirrlem2.1	. . . 4 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
3		eirrlem2.2	. . . 4 |- P e. ZZ
4		eirrlem2.3	. . . 4 |- Q e. NN
5	2, 3, 4	eirrlem4 7341	. . 3 |- 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))
6	2, 3, 4	eirrlem3 7340	. . . 4 |- ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) < 1
7		ax1cn 5249	. . . . 5 |- 1 e. CC
8	7	addid2 5311	. . . 4 |- (0 + 1) = 1
9	6, 8	breqtrr 2635	. . 3 |- ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) < (0 + 1)
10		btwnnzt 6147	. . 3 |- ((0 e. ZZ /\ 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) /\ ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) < (0 + 1)) -> -. ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) e. ZZ)
11	1, 5, 9, 10	mp3an 914	. 2 |- -. ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) e. ZZ
12		efvalt 7258	. . . . . . . . . 10 |- (1 e. CC -> (exp` 1) = sum_k e. NN0 ((1^k) / (!` k)))
13	7, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (exp` 1) = sum_k e. NN0 ((1^k) / (!` k))
14		df-e 7249	. . . . . . . . 9 |- e = (exp` 1)
15	2	eftval 7266	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((1^k) / (!` k)))
16	15	sumeq2i 6934	. . . . . . . . 9 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. NN0 ((1^k) / (!` k))
17	13, 14, 16	3eqtr4 1502	. . . . . . . 8 |- e = sum_k e. NN0 (F` k)
18	17	eqeq1i 1479	. . . . . . 7 |- (e = (P / Q) <-> sum_k e. NN0 (F` k) = (P / Q))
19	18	biimp 151	. . . . . 6 |- (e = (P / Q) -> sum_k e. NN0 (F` k) = (P / Q))
20	19	opreq1d 3966	. . . . 5 |- (e = (P / Q) -> (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k)) = ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k)))
21	20	opreq2d 3967	. . . 4 |- (e = (P / Q) -> ((!` Q) x. (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k))) = ((!` Q) x. ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k))))
22		ere 7280	. . . . . . . 8 |- e e. RR
23	17, 22	eqeltrr 1542	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) e. RR
24	23	recn 5294	. . . . . 6 |- sum_k e. NN0 (F` k) e. CC
25	4	nnnn0 6062	. . . . . . . 8 |- Q e. NN0
26		nn0uz 6378	. . . . . . . 8 |- NN0 = (ZZ>` 0)
27	25, 26	eleqtr 1543	. . . . . . 7 |- Q e. (ZZ>` 0)
28		fzssuzt 6445	. . . . . . . 8 |- (0...Q) (_ (ZZ>` 0)
29		elnn0uz 6381	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>` 0))
30		eftclt 7253	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 e. CC /\ k e. NN0) -> ((1^k) / (!` k)) e. CC)
31	7, 30	mpan 694	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN0 -> ((1^k) / (!` k)) e. CC)
32	15, 31	eqeltrd 1545	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. CC)
33	29, 32	sylbir 201	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>` 0) -> (F` k) e. CC)
34	33	rgen 1695	. . . . . . . 8 |- A.k e. (ZZ>` 0)(F` k) e. CC
35		ssralv 2110	. . . . . . . 8 |- ((0...Q) (_ (ZZ>` 0) -> (A.k e. (ZZ>` 0)(F` k) e. CC -> A.k e. (0...Q)(F` k) e. CC))
36	28, 34, 35	mp2 43	. . . . . . 7 |- A.k e. (0...Q)(F` k) e. CC
37		fsumclt 6961	. . . . . . 7 |- ((Q e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (0...Q)(F` k) e. CC) -> sum_k e. (0...Q)(F` k) e. CC)
38	27, 36, 37	mp2an 696	. . . . . 6 |- sum_k e. (0...Q)(F` k) e. CC
39		peano2nn 5891	. . . . . . . . 9 |- (Q e. NN -> (Q + 1) e. NN)
40	4, 39	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (Q + 1) e. NN
41		nnzt 6108	. . . . . . . 8 |- ((Q + 1) e. NN -> (Q + 1) e. ZZ)
42	40, 41	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (Q + 1) e. ZZ
43	2	eftlext 7328	. . . . . . . 8 |- ((1 e. CC /\ (Q + 1) e. NN) -> E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x)
44	7, 40, 43	mp2an 696	. . . . . . 7 |- E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x
45		nn0ex 6060	. . . . . . . . 9 |- NN0 e. V
46	45, 2	fopabex2 3604	. . . . . . . 8 |- F e. V
47	46	isumclt 7152	. . . . . . 7 |- (((Q + 1) e. ZZ /\ E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. CC)
48	42, 44, 47	mp2an 696	. . . . . 6 |- sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. CC
49		eftclt 7253	. . . . . . . . . 10 |- ((1 e. CC /\ j e. NN0) -> ((1^j) / (!` j)) e. CC)
50	7, 49	mpan 694	. . . . . . . . 9 |- (j e. NN0 -> ((1^j) / (!` j)) e. CC)
51	2, 50	fopab 3818	. . . . . . . 8 |- F:NN0-->CC
52	2	efseq0ex 7261	. . . . . . . . 9 |- (1 e. CC -> E.x( + seq0 F) ~~> x)
53	7, 52	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- E.x( + seq0 F) ~~> x
54	25, 51, 53	isum0split 7160	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) = (sum_k e. (0...Q)(F` k) + sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))
55	54	eqcomi 1476	. . . . . 6 |- (sum_k e. (0...Q)(F` k) + sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) = sum_k e. NN0 (F` k)
56	24, 38, 48, 55	subaddri 5352	. . . . 5 |- (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k)) = sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)
57	56	opreq2i 3963	. . . 4 |- ((!` Q) x. (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k))) = ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))
58	21, 57	syl5eqr 1518	. . 3 |- (e = (P / Q) -> ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) = ((!` Q) x. ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k))))
59	2, 3, 4	eirrlem2 7339	. . 3 |- ((!` Q) x. ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k))) e. ZZ
60	58, 59	syl6eqel 1553	. 2 |- (e = (P / Q) -> ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) e. ZZ)
61	11, 60	mto 106	1 |- -. e = (P / Q)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  A.wral 1642   (_ wss 2043  <.cop 2407   class class class wbr 2614  {copab 2661  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   - cmin 5272   / cdiv 5274  NNcn 5276  NN0cn0 5277  ZZcz 5278   < clt 5466  ZZ>cuz 6357  ...cfz 6407   seq cseqz 6471   seq0 cseq0 6472  ^cexp 6508  !cfa 6876   ~~> cli 6920  sum_csu 6925  expce 7243  eceu 7244

This theorem is referenced by:  eirr 7343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-seq0 6474  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-fac 6877  df-bc 6902  df-clim 6921  df-sum 6926  df-ef 7248  df-e 7249

Copyright terms: Public domain