Theorem elbdopt 9778

Description: Property defining a bounded linear Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
elbdopt	|- (T e. BndLinOp <-> (T e. LinOp /\ (normop` T) < +oo))

Proof of Theorem elbdopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3721	. . 3 |- (t = T -> (normop` t) = (normop` T))
2	1	breq1d 2626	. 2 |- (t = T -> ((normop` t) < +oo <-> (normop` T) < +oo))
3		dfbdop2 9777	. 2 |- BndLinOp = {t e. LinOp | (normop` t) < +oo}
4	2, 3	elrab2 1905	1 |- (T e. BndLinOp <-> (T e. LinOp /\ (normop` T) < +oo))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2616  ` cfv 3179   +oocpnf 5470   < clt 5473  norm_opcnop 8798  LinOpclo 8800  BndLinOpcbo 8801

This theorem is referenced by:  bdoplnt 9779  nmopret 9788  elbdop2t 9789  0bdop 9909

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-hilex 8853

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-opr 3962  df-lnop 9758  df-bdop 9759

Copyright terms: Public domain