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Theorem elcls 16804
Description: Membership in a closure. Theorem 6.5(a) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
elcls  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, P    x, S    x, X

Proof of Theorem elcls
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
21cmclsopn 16793 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  e.  J )
323adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) )  e.  J
)
43adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  S )
)  e.  J )
5 eldif 3163 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  ( P  e.  X  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
65biimpri 199 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  X  /\  -.  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  P  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )
763ad2antl3 1121 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  P  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )
8 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  X )
91sscls 16787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
108, 9ssind 3394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( X  i^i  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
11 dfin4 3410 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  i^i  ( ( cls `  J ) `  S
) )  =  ( X  \  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )
1210, 11syl6sseq 3225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( X  \ 
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) ) )
13 reldisj 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( S  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )  =  (/) 
<->  S  C_  ( X  \  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) ) ) )
1413adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( S  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )  =  (/)  <->  S  C_  ( X  \  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) ) ) )
1512, 14mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )  =  (/) )
16 nne 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  S
) )  i^i  S
)  =  (/) )
17 incom 3362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 S ) )  i^i  S )  =  ( S  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )
1817eqeq1i 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =  (/)  <->  ( S  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )  =  (/) )
1916, 18bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( S  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )  =  (/) )
2015, 19sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) )
21203adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) )
2221adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  -.  (
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) )
23 eleq2 2345 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) ) )
24 ineq1 3364 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( x  i^i  S )  =  ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )
)
2524neeq1d 2460 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
x  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  S
) )  i^i  S
)  =/=  (/) ) )
2625notbid 287 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/)  <->  -.  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) )  i^i  S
)  =/=  (/) ) )
2723, 26anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  /\  -.  (
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2827rspcev 2885 . . . . 5  |-  ( ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  e.  J  /\  ( P  e.  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) )  /\  -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
294, 7, 22, 28syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  (
x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
30 incom 3362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  i^i  x )  =  ( x  i^i  S
)
3130eqeq1i 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  i^i  x )  =  (/)  <->  ( x  i^i 
S )  =  (/) )
32 df-ne 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  S )  =/=  (/)  <->  -.  ( x  i^i  S )  =  (/) )
3332con2bii 324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  S )  =  (/)  <->  -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )
3431, 33bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  i^i  x )  =  (/)  <->  -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )
351opncld 16764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( X  \  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
3635adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  J
)  ->  ( X  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
3736adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( X 
\  x )  e.  ( Clsd `  J
) )
38 reldisj 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( S  i^i  x
)  =  (/)  <->  S  C_  ( X  \  x ) ) )
3938biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  X  /\  ( S  i^i  x
)  =  (/) )  ->  S  C_  ( X  \  x ) )
4039adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( S  i^i  x
)  =  (/) )  ->  S  C_  ( X  \  x ) )
4140adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  S  C_  ( X  \  x
) )
421clsss2 16803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  \  x
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  ( X  \  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( X  \  x
) )
4337, 41, 42syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( ( cls `  J ) `
 S )  C_  ( X  \  x
) )
4443sseld 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  P  e.  ( X  \  x
) ) )
45 eldifn 3300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( X  \  x )  ->  -.  P  e.  x )
4644, 45syl6 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  -.  P  e.  x ) )
4746con2d 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( P  e.  x  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
4834, 47sylan2br 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( P  e.  x  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `
 S ) ) )
4948exp31 589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  J  ->  ( -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( P  e.  x  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) ) ) )
5049com34 79 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  J  ->  ( P  e.  x  ->  ( -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) ) ) )
5150imp4a 574 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  J  ->  ( ( P  e.  x  /\  -.  (
x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) ) )
5251rexlimdv 2667 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  (
x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
5352imp 420 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
54533adantl3 1115 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5529, 54impbida 807 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( -.  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
56 rexanali 2590 . . 3  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  -.  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
5755, 56syl6bb 254 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( -.  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )  <->  -. 
A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
5857con4bid 286 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545    \ cdif 3150    i^i cin 3152    C_ wss 3153   (/)c0 3456   U.cuni 3828   ` cfv 5221   Topctop 16625   Clsdccld 16747   clsccl 16749
This theorem is referenced by:  elcls2  16805  clsndisj  16806  elcls3  16814  neindisj2  16854  lmcls  17024  1stccnp  17182  txcls  17293  dfac14lem  17305  fclsopn  17703  metdseq0  18352  islp3  24913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-top 16630  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752
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