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Theorem elcls 16810
Description: Membership in a closure. Theorem 6.5(a) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
elcls  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, P    x, S    x, X

Proof of Theorem elcls
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
21cmclsopn 16799 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  e.  J )
323adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) )  e.  J
)
43adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  S )
)  e.  J )
5 eldif 3162 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  ( P  e.  X  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
65biimpri 197 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  X  /\  -.  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  P  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )
763ad2antl3 1119 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  P  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )
8 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  X )
91sscls 16793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
108, 9ssind 3393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( X  i^i  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
11 dfin4 3409 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  i^i  ( ( cls `  J ) `  S
) )  =  ( X  \  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )
1210, 11syl6sseq 3224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( X  \ 
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) ) )
13 reldisj 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( S  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )  =  (/) 
<->  S  C_  ( X  \  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) ) ) )
1413adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( S  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )  =  (/)  <->  S  C_  ( X  \  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) ) ) )
1512, 14mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )  =  (/) )
16 nne 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  S
) )  i^i  S
)  =  (/) )
17 incom 3361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 S ) )  i^i  S )  =  ( S  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )
1817eqeq1i 2290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =  (/)  <->  ( S  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )  =  (/) )
1916, 18bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( S  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )  =  (/) )
2015, 19sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) )
21203adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) )
2221adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  -.  (
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) )
23 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) ) )
24 ineq1 3363 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( x  i^i  S )  =  ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )
)
2524neeq1d 2459 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
x  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  S
) )  i^i  S
)  =/=  (/) ) )
2625notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/)  <->  -.  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) )  i^i  S
)  =/=  (/) ) )
2723, 26anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  /\  -.  (
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2827rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  e.  J  /\  ( P  e.  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) )  /\  -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
294, 7, 22, 28syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  (
x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
30 incom 3361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  i^i  x )  =  ( x  i^i  S
)
3130eqeq1i 2290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  i^i  x )  =  (/)  <->  ( x  i^i 
S )  =  (/) )
32 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  S )  =/=  (/)  <->  -.  ( x  i^i  S )  =  (/) )
3332con2bii 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  S )  =  (/)  <->  -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )
3431, 33bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  i^i  x )  =  (/)  <->  -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )
351opncld 16770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( X  \  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
3635adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  J
)  ->  ( X  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
3736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( X 
\  x )  e.  ( Clsd `  J
) )
38 reldisj 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( S  i^i  x
)  =  (/)  <->  S  C_  ( X  \  x ) ) )
3938biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  X  /\  ( S  i^i  x
)  =  (/) )  ->  S  C_  ( X  \  x ) )
4039adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( S  i^i  x
)  =  (/) )  ->  S  C_  ( X  \  x ) )
4140adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  S  C_  ( X  \  x
) )
421clsss2 16809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  \  x
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  ( X  \  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( X  \  x
) )
4337, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( ( cls `  J ) `
 S )  C_  ( X  \  x
) )
4443sseld 3179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  P  e.  ( X  \  x
) ) )
45 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( X  \  x )  ->  -.  P  e.  x )
4644, 45syl6 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  -.  P  e.  x ) )
4746con2d 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( P  e.  x  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
4834, 47sylan2br 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( P  e.  x  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `
 S ) ) )
4948exp31 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  J  ->  ( -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( P  e.  x  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) ) ) )
5049com34 77 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  J  ->  ( P  e.  x  ->  ( -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) ) ) )
5150imp4a 572 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  J  ->  ( ( P  e.  x  /\  -.  (
x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) ) )
5251rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  (
x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
5352imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
54533adantl3 1113 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5529, 54impbida 805 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( -.  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
56 rexanali 2589 . . 3  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  -.  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
5755, 56syl6bb 252 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( -.  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )  <->  -. 
A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
5857con4bid 284 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   Clsdccld 16753   clsccl 16755
This theorem is referenced by:  elcls2  16811  clsndisj  16812  elcls3  16820  neindisj2  16860  lmcls  17030  1stccnp  17188  txcls  17299  dfac14lem  17311  fclsopn  17709  metdseq0  18358  islp3  25514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758
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