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Theorem elcls3 16836
Description: Membership in a closure in terms of the members of a basis. Theorem 6.5(b) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elcls3.1  |-  ( ph  ->  J  =  ( topGen `  B ) )
elcls3.2  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
elcls3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  TopBases )
elcls3.4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
elcls3.5  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Assertion
Ref Expression
elcls3  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, P    x, S
Allowed substitution hints:    ph( x)    J( x)    X( x)

Proof of Theorem elcls3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcls3.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  =  ( topGen `  B ) )
2 elcls3.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  TopBases )
3 tgcl 16723 . . . . 5  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( topGen `  B )  e.  Top )
51, 4eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
6 elcls3.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
7 elcls3.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
86, 7sseqtrd 3227 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  U. J )
9 elcls3.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
109, 7eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  U. J
)
11 eqid 2296 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
1211elcls 16826 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  P  e.  U. J )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  -> 
( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
135, 8, 10, 12syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  -> 
( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
14 bastg 16720 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
152, 14syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  ( topGen `  B ) )
1615, 1sseqtr4d 3228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  J )
1716sseld 3192 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  J ) )
1817imim1d 69 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  ->  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  (
y  e.  B  -> 
( P  e.  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) ) )
1918ralimdv2 2636 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  B  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
20 eleq2 2357 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  x ) )
21 ineq1 3376 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  i^i  S )  =  ( x  i^i 
S ) )
2221neeq1d 2472 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2320, 22imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( P  e.  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2423cbvralv 2777 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2519, 24syl6ib 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
26 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  y  e.  J )
271ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  J  =  ( topGen `  B
) )
2826, 27eleqtrd 2372 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  y  e.  ( topGen `  B )
)
29 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  P  e.  y )
30 tg2 16719 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( topGen `  B )  /\  P  e.  y )  ->  E. z  e.  B  ( P  e.  z  /\  z  C_  y ) )
3128, 29, 30syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  E. z  e.  B  ( P  e.  z  /\  z  C_  y ) )
32 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  z ) )
33 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
x  i^i  S )  =  ( z  i^i 
S ) )
3433neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
3532, 34imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
3635rspccva 2896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  /\  z  e.  B )  ->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
3736imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  /\  z  e.  B )  /\  P  e.  z
)  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) )
38 ssdisj 3517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  y  /\  ( y  i^i  S
)  =  (/) )  -> 
( z  i^i  S
)  =  (/) )
3938ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( y  i^i  S
)  =  (/)  ->  (
z  i^i  S )  =  (/) ) )
4039necon3d 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( z  i^i  S
)  =/=  (/)  ->  (
y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
4137, 40syl5com 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  /\  z  e.  B )  /\  P  e.  z
)  ->  ( z  C_  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
4241exp31 587 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( P  e.  z  ->  ( z  C_  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) ) )
4342imp4a 572 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( ( P  e.  z  /\  z  C_  y )  ->  (
y  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
4443rexlimdv 2679 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( E. z  e.  B  ( P  e.  z  /\  z  C_  y )  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
4544ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  ( E. z  e.  B  ( P  e.  z  /\  z  C_  y )  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
4631, 45mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  (
y  i^i  S )  =/=  (/) )
4746exp43 595 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  J  ->  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) ) )
4847ralrimdv 2645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
4925, 48impbid 183 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
5013, 49bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   ` cfv 5271   topGenctg 13358   Topctop 16647   TopBasesctb 16651   clsccl 16771
This theorem is referenced by:  2ndcsep  17201  ptclsg  17325  qdensere  18295
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774
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