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Theorem elcls3 17130
Description: Membership in a closure in terms of the members of a basis. Theorem 6.5(b) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elcls3.1  |-  ( ph  ->  J  =  ( topGen `  B ) )
elcls3.2  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
elcls3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  TopBases )
elcls3.4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
elcls3.5  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Assertion
Ref Expression
elcls3  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, P    x, S
Allowed substitution hints:    ph( x)    J( x)    X( x)

Proof of Theorem elcls3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcls3.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  =  ( topGen `  B ) )
2 elcls3.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  TopBases )
3 tgcl 17017 . . . . 5  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( topGen `  B )  e.  Top )
51, 4eqeltrd 2504 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
6 elcls3.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
7 elcls3.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
86, 7sseqtrd 3371 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  U. J )
9 elcls3.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
109, 7eleqtrd 2506 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  U. J
)
11 eqid 2430 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
1211elcls 17120 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  P  e.  U. J )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  -> 
( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
135, 8, 10, 12syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  -> 
( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
14 bastg 17014 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
152, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  ( topGen `  B ) )
1615, 1sseqtr4d 3372 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  J )
1716sseld 3334 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  J ) )
1817imim1d 71 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  ->  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  (
y  e.  B  -> 
( P  e.  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) ) )
1918ralimdv2 2773 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  B  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
20 eleq2 2491 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  x ) )
21 ineq1 3522 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  i^i  S )  =  ( x  i^i 
S ) )
2221neeq1d 2606 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2320, 22imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( P  e.  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2423cbvralv 2919 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2519, 24syl6ib 218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
26 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  y  e.  J )
271ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  J  =  ( topGen `  B
) )
2826, 27eleqtrd 2506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  y  e.  ( topGen `  B )
)
29 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  P  e.  y )
30 tg2 17013 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( topGen `  B )  /\  P  e.  y )  ->  E. z  e.  B  ( P  e.  z  /\  z  C_  y ) )
3128, 29, 30syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  E. z  e.  B  ( P  e.  z  /\  z  C_  y ) )
32 eleq2 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  z ) )
33 ineq1 3522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
x  i^i  S )  =  ( z  i^i 
S ) )
3433neeq1d 2606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
3532, 34imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
3635rspccva 3038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  /\  z  e.  B )  ->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
3736imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  /\  z  e.  B )  /\  P  e.  z
)  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) )
38 ssdisj 3664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  y  /\  ( y  i^i  S
)  =  (/) )  -> 
( z  i^i  S
)  =  (/) )
3938ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( y  i^i  S
)  =  (/)  ->  (
z  i^i  S )  =  (/) ) )
4039necon3d 2631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( z  i^i  S
)  =/=  (/)  ->  (
y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
4137, 40syl5com 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  /\  z  e.  B )  /\  P  e.  z
)  ->  ( z  C_  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
4241exp31 588 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( P  e.  z  ->  ( z  C_  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) ) )
4342imp4a 573 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( ( P  e.  z  /\  z  C_  y )  ->  (
y  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
4443rexlimdv 2816 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( E. z  e.  B  ( P  e.  z  /\  z  C_  y )  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
4544ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  ( E. z  e.  B  ( P  e.  z  /\  z  C_  y )  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
4631, 45mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  (
y  i^i  S )  =/=  (/) )
4746exp43 596 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  J  ->  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) ) )
4847ralrimdv 2782 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
4925, 48impbid 184 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
5013, 49bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593   A.wral 2692   E.wrex 2693    i^i cin 3306    C_ wss 3307   (/)c0 3615   U.cuni 4002   ` cfv 5440   topGenctg 13648   Topctop 16941   TopBasesctb 16945   clsccl 17065
This theorem is referenced by:  2ndcsep  17505  ptclsg  17630  qdensere  18787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-topgen 13650  df-top 16946  df-bases 16948  df-cld 17066  df-ntr 17067  df-cls 17068
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