Theorem eldifpw 2905

Description: Membership in a power class difference.

Hypothesis

Ref	Expression
eldifpw.1	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
eldifpw	|- ((A e. P~B /\ -. C (_ B) -> (A u. C) e. (P~(B u. C) \ P~B))

Proof of Theorem eldifpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 2402	. . . 4 |- (A e. P~B -> A (_ B)
2		eldifpw.1	. . . . . . 7 |- C e. V
3		unexg 2869	. . . . . . 7 |- ((A e. P~B /\ C e. V) -> (A u. C) e. V)
4	2, 3	mpan2 695	. . . . . 6 |- (A e. P~B -> (A u. C) e. V)
5		elpwg 2401	. . . . . 6 |- ((A u. C) e. V -> ((A u. C) e. P~(B u. C) <-> (A u. C) (_ (B u. C)))
6	4, 5	syl 10	. . . . 5 |- (A e. P~B -> ((A u. C) e. P~(B u. C) <-> (A u. C) (_ (B u. C)))
7		unss1 2195	. . . . 5 |- (A (_ B -> (A u. C) (_ (B u. C))
8	6, 7	syl5bir 210	. . . 4 |- (A e. P~B -> (A (_ B -> (A u. C) e. P~(B u. C)))
9	1, 8	mpd 26	. . 3 |- (A e. P~B -> (A u. C) e. P~(B u. C))
10		elpwi 2402	. . . . 5 |- ((A u. C) e. P~B -> (A u. C) (_ B)
11		unss 2200	. . . . . 6 |- ((A (_ B /\ C (_ B) <-> (A u. C) (_ B)
12		pm3.27 323	. . . . . 6 |- ((A (_ B /\ C (_ B) -> C (_ B)
13	11, 12	sylbir 201	. . . . 5 |- ((A u. C) (_ B -> C (_ B)
14	10, 13	syl 10	. . . 4 |- ((A u. C) e. P~B -> C (_ B)
15	14	con3i 98	. . 3 |- (-. C (_ B -> -. (A u. C) e. P~B)
16	9, 15	anim12i 333	. 2 |- ((A e. P~B /\ -. C (_ B) -> ((A u. C) e. P~(B u. C) /\ -. (A u. C) e. P~B))
17		eldif 2053	. 2 |- ((A u. C) e. (P~(B u. C) \ P~B) <-> ((A u. C) e. P~(B u. C) /\ -. (A u. C) e. P~B))
18	16, 17	sylibr 200	1 |- ((A e. P~B /\ -. C (_ B) -> (A u. C) e. (P~(B u. C) \ P~B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 956  Vcvv 1807   \ cdif 2040   u. cun 2041   (_ wss 2043  P~cpw 2397

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-uni 2499

Copyright terms: Public domain