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Theorem eldioph4b 26293
Description: Membership in Dioph expressed using a quantified union to add witness variables instead of a restriction to remove them. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eldioph4b.a  |-  W  e. 
_V
eldioph4b.b  |-  -.  W  e.  Fin
eldioph4b.c  |-  ( W  i^i  NN )  =  (/)
Assertion
Ref Expression
eldioph4b  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } ) )
Distinct variable groups:    W, p, t, w    S, p, t, w    N, p, t, w
Dummy variable  u is distinct from all other variables.

Proof of Theorem eldioph4b
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 26242 . 2  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  ->  N  e.  NN0 )
2 eldioph4b.a . . . . . 6  |-  W  e. 
_V
3 ovex 5844 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
42, 3unex 4517 . . . . 5  |-  ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e. 
_V
54jctr 528 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e.  _V ) )
6 eldioph4b.b . . . . . . 7  |-  -.  W  e.  Fin
76intnanr 883 . . . . . 6  |-  -.  ( W  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin )
8 unfir 7120 . . . . . 6  |-  ( ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e.  Fin  ->  ( W  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin ) )
97, 8mto 169 . . . . 5  |-  -.  ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e.  Fin
10 ssun2 3340 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  C_  ( W  u.  (
1 ... N ) )
119, 10pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( -.  ( W  u.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )
12 eldioph2b 26241 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( W  u.  (
1 ... N ) )  e.  _V )  /\  ( -.  ( W  u.  ( 1 ... N
) )  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( S  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
135, 11, 12sylancl 645 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
14 elmapssres 26191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( 1 ... N
)  C_  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( u  |`  (
1 ... N ) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )
1510, 14mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
1615adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
17 ssun1 3339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  W  C_  ( W  u.  (
1 ... N ) )
18 elmapssres 26191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  W  C_  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W ) )
1917, 18mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W ) )
2019adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W ) )
21 uncom 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) )  =  ( ( u  |`  W )  u.  (
u  |`  ( 1 ... N ) ) )
22 resundi 4968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  |`  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  =  ( ( u  |`  W )  u.  ( u  |`  (
1 ... N ) ) )
2321, 22eqtr4i 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) )  =  ( u  |`  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) )
24 elmapi 6787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  u :
( W  u.  (
1 ... N ) ) --> NN0 )
25 ffn 5354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u : ( W  u.  ( 1 ... N
) ) --> NN0  ->  u  Fn  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )
26 fnresdm 5318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  Fn  ( W  u.  ( 1 ... N
) )  ->  (
u  |`  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  =  u )
2724, 25, 263syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u  |`  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  =  u )
2823, 27syl5eq 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) )  =  u )
2928fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )  =  ( p `
 u ) )
3029eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) ) )  =  0  <-> 
( p `  u
)  =  0 ) )
3130biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )  =  0 )
32 uneq2 3324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( u  |`  W )  ->  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w )  =  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )
3332fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( u  |`  W )  ->  (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  w ) )  =  ( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) ) ) )
3433eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( u  |`  W )  ->  (
( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w ) )  =  0  <->  ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )  =  0 ) )
3534rspcev 2885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W )  /\  (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) ) )  =  0 )  ->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 )
3620, 31, 35syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w ) )  =  0 )
3716, 36jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 ) )
38 eleq1 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  <->  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )
39 uneq1 3323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  u.  w )  =  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )
4039fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
p `  ( t  u.  w ) )  =  ( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w ) ) )
4140eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( p `  (
t  u.  w ) )  =  0  <->  (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  w ) )  =  0 ) )
4241rexbidv 2565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  ( t  u.  w ) )  =  0  <->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 ) )
4338, 42anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 )  <->  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4437, 43syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4544expimpd 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( p `  u
)  =  0  /\  t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4645ancomsd 442 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4746rexlimiv 2662 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) )
48 uncom 3320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  u.  w )  =  ( w  u.  t
)
49 fz1ssnn 26291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
50 sslin 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  NN  ->  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  ( W  i^i  NN ) )
5149, 50ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  ( W  i^i  NN )
52 eldioph4b.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( W  i^i  NN )  =  (/)
5351, 52sseqtri 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  (/)
54 ss0 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  i^i  ( 1 ... N ) ) 
C_  (/)  ->  ( W  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
5553, 54ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
5655reseq2i 4951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  ( w  |`  (/) )
57 res0 4958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  |`  (/) )  =  (/)
5856, 57eqtri 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  (/)
5955reseq2i 4951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  ( t  |`  (/) )
60 res0 4958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  |`  (/) )  =  (/)
6159, 60eqtri 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  (/)
6258, 61eqtr4i 2307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  ( t  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )
63 elmapresaun 26249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
w  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N
) ) )  =  ( t  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( w  u.  t )  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) )
6462, 63mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( w  u.  t
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
6564ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( w  u.  t
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
6648, 65syl5eqel 2368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( t  u.  w
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
6766adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  (
t  u.  w )  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) )
6848reseq1i 4950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  u.  w )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( w  u.  t
)  |`  ( 1 ... N ) )
69 elmapresaunres2 26250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
w  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N
) ) )  =  ( t  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( (
w  u.  t )  |`  ( 1 ... N
) )  =  t )
7062, 69mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( w  u.  t )  |`  (
1 ... N ) )  =  t )
7170ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( ( w  u.  t )  |`  (
1 ... N ) )  =  t )
7268, 71syl5req 2329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
t  =  ( ( t  u.  w )  |`  ( 1 ... N
) ) )
7372adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  t  =  ( ( t  u.  w )  |`  ( 1 ... N
) ) )
74 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  (
p `  ( t  u.  w ) )  =  0 )
75 reseq1 4948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
u  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( t  u.  w )  |`  (
1 ... N ) ) )
7675eqeq2d 2295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  <->  t  =  ( ( t  u.  w )  |`  (
1 ... N ) ) ) )
77 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
p `  u )  =  ( p `  ( t  u.  w
) ) )
7877eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
( p `  u
)  =  0  <->  (
p `  ( t  u.  w ) )  =  0 ) )
7976, 78anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 )  <->  ( t  =  ( ( t  u.  w )  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
8079rspcev 2885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  u.  w
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( t  =  ( ( t  u.  w
)  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  (
t  u.  w ) )  =  0 ) )  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) )
8167, 73, 74, 80syl12anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) )
8281ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) ) )
8382rexlimdva 2668 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  ( t  u.  w ) )  =  0  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) ) )
8483imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0 
^m  W ) ( p `  ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) )
8547, 84impbii 182 . . . . . . 7  |-  ( E. u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 )  <->  ( t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) )
8685abbii 2396 . . . . . 6  |-  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  =  {
t  |  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 ) }
87 df-rab 2553 . . . . . 6  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 }  =  {
t  |  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 ) }
8886, 87eqtr4i 2307 . . . . 5  |-  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  =  {
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  (
t  u.  w ) )  =  0 }
8988eqeq2i 2294 . . . 4  |-  ( S  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } )
9089rexbii 2569 . . 3  |-  ( E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } )
9113, 90syl6bb 254 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  (
t  u.  w ) )  =  0 } ) )
921, 91biadan2 625 1  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   {cab 2270   E.wrex 2545   {crab 2548   _Vcvv 2789    u. cun 3151    i^i cin 3152    C_ wss 3153   (/)c0 3456    |` cres 4690    Fn wfn 5216   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819    ^m cmap 6767   Fincfn 6858   0cc0 8732   1c1 8733   NNcn 9741   NN0cn0 9960   ...cfz 10776  mzPolycmzp 26199  Diophcdioph 26233
This theorem is referenced by:  eldioph4i  26294  diophren  26295
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-fz 10777  df-hash 11332  df-mzpcl 26200  df-mzp 26201  df-dioph 26234
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