Theorem elfv 3707

Description: Membership in a function value.

Hypothesis

Ref	Expression
elfv.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
elfv	|- (A e. (F` B) <-> E.x(A e. x /\ A.y(BFy <-> y = x)))

Distinct variable groups:   x,A   x,y,B   x,F,y

Proof of Theorem elfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv.1	. . . 4 |- B e. V
2	1	fv2 3705	. . 3 |- (F` B) = U.{x | A.y(BFy <-> y = x)}
3	2	eleq2i 1530	. 2 |- (A e. (F` B) <-> A e. U.{x | A.y(BFy <-> y = x)})
4		eluniab 2503	. 2 |- (A e. U.{x | A.y(BFy <-> y = x)} <-> E.x(A e. x /\ A.y(BFy <-> y = x)))
5	3, 4	bitr 173	1 |- (A e. (F` B) <-> E.x(A e. x /\ A.y(BFy <-> y = x)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  {cab 1456  Vcvv 1802  U.cuni 2493   class class class wbr 2609  ` cfv 3172

This theorem is referenced by:  fv3 3718

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fv 3188

Copyright terms: Public domain