MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfv Unicode version

Theorem elfv 5375
Description: Membership in a function value. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
elfv  |-  ( A  e.  ( F `  B )  <->  E. x
( A  e.  x  /\  A. y ( B F y  <->  y  =  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, F, y
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem elfv
StepHypRef Expression
1 fv2 5373 . . 3  |-  ( F `
 B )  = 
U. { x  | 
A. y ( B F y  <->  y  =  x ) }
21eleq2i 2317 . 2  |-  ( A  e.  ( F `  B )  <->  A  e.  U. { x  |  A. y ( B F y  <->  y  =  x ) } )
3 eluniab 3739 . 2  |-  ( A  e.  U. { x  |  A. y ( B F y  <->  y  =  x ) }  <->  E. x
( A  e.  x  /\  A. y ( B F y  <->  y  =  x ) ) )
42, 3bitri 242 1  |-  ( A  e.  ( F `  B )  <->  E. x
( A  e.  x  /\  A. y ( B F y  <->  y  =  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239   U.cuni 3727   class class class wbr 3920   ` cfv 4592
This theorem is referenced by:  fv3  5393  tz6.12-2  5399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-cnv 4596  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fv 4608
  Copyright terms: Public domain W3C validator