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Theorem elfz2nn0t 6445
Description: Membership in a finite set of sequential integers starting at 0.
Assertion
Ref Expression
elfz2nn0t |- (N e. A -> (K e. (0...N) <-> (K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N)))
Proof of Theorem elfz2nn0t
StepHypRef Expression
1 elfz2t 6422 . 2 |- (N e. A -> (K e. (0...N) <-> ((0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N))))
2 pm3.27 323 . . . . . . 7 |- ((N e. ZZ /\ K e. ZZ) -> K e. ZZ)
3 pm3.26 319 . . . . . . 7 |- ((0 <_ K /\ K <_ N) -> 0 <_ K)
42, 3anim12i 333 . . . . . 6 |- (((N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)) -> (K e. ZZ /\ 0 <_ K))
5 simpll 412 . . . . . . 7 |- (((N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)) -> N e. ZZ)
6 0re 5427 . . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
7 letrt 5512 . . . . . . . . . . 11 |- ((0 e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR) -> ((0 <_ K /\ K <_ N) -> 0 <_ N))
86, 7mp3an1 902 . . . . . . . . . 10 |- ((K e. RR /\ N e. RR) -> ((0 <_ K /\ K <_ N) -> 0 <_ N))
98ancoms 436 . . . . . . . . 9 |- ((N e. RR /\ K e. RR) -> ((0 <_ K /\ K <_ N) -> 0 <_ N))
10 zret 6100 . . . . . . . . 9 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
11 zret 6100 . . . . . . . . 9 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
129, 10, 11syl2an 454 . . . . . . . 8 |- ((N e. ZZ /\ K e. ZZ) -> ((0 <_ K /\ K <_ N) -> 0 <_ N))
1312imp 350 . . . . . . 7 |- (((N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)) -> 0 <_ N)
145, 13jca 288 . . . . . 6 |- (((N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)) -> (N e. ZZ /\ 0 <_ N))
15 simprr 415 . . . . . 6 |- (((N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)) -> K <_ N)
164, 14, 153jca 818 . . . . 5 |- (((N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)) -> ((K e. ZZ /\ 0 <_ K) /\ (N e. ZZ /\ 0 <_ N) /\ K <_ N))
17163adantl1 802 . . . 4 |- (((0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)) -> ((K e. ZZ /\ 0 <_ K) /\ (N e. ZZ /\ 0 <_ N) /\ K <_ N))
18 0z 6107 . . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
1918a1i 8 . . . . . . 7 |- (K <_ N -> 0 e. ZZ)
20 pm3.26 319 . . . . . . 7 |- ((N e. ZZ /\ 0 <_ N) -> N e. ZZ)
21 pm3.26 319 . . . . . . 7 |- ((K e. ZZ /\ 0 <_ K) -> K e. ZZ)
2219, 20, 213anim123i 820 . . . . . 6 |- ((K <_ N /\ (N e. ZZ /\ 0 <_ N) /\ (K e. ZZ /\ 0 <_ K)) -> (0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ))
23223com13 837 . . . . 5 |- (((K e. ZZ /\ 0 <_ K) /\ (N e. ZZ /\ 0 <_ N) /\ K <_ N) -> (0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ))
24 id 59 . . . . . . 7 |- ((0 <_ K /\ K <_ N) -> (0 <_ K /\ K <_ N))
2524adantll 392 . . . . . 6 |- (((K e. ZZ /\ 0 <_ K) /\ K <_ N) -> (0 <_ K /\ K <_ N))
26253adant2 797 . . . . 5 |- (((K e. ZZ /\ 0 <_ K) /\ (N e. ZZ /\ 0 <_ N) /\ K <_ N) -> (0 <_ K /\ K <_ N))
2723, 26jca 288 . . . 4 |- (((K e. ZZ /\ 0 <_ K) /\ (N e. ZZ /\ 0 <_ N) /\ K <_ N) -> ((0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)))
2817, 27impbi 157 . . 3 |- (((0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)) <-> ((K e. ZZ /\ 0 <_ K) /\ (N e. ZZ /\ 0 <_ N) /\ K <_ N))
29 elnn0z 6108 . . . 4 |- (K e. NN0 <-> (K e. ZZ /\ 0 <_ K))
30 elnn0z 6108 . . . 4 |- (N e. NN0 <-> (N e. ZZ /\ 0 <_ N))
31 pm4.2 170 . . . 4 |- (K <_ N <-> K <_ N)
3229, 30, 313anbi123i 821 . . 3 |- ((K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N) <-> ((K e. ZZ /\ 0 <_ K) /\ (N e. ZZ /\ 0 <_ N) /\ K <_ N))
3328, 32bitr4 176 . 2 |- (((0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)) <-> (K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N))
341, 33syl6bb 535 1 |- (N e. A -> (K e. (0...N) <-> (K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   e. wcel 957   class class class wbr 2616  (class class class)co 3960  RRcr 5220  0cc0 5221   <_ cle 5282  NN0cn0 5284  ZZcz 5285  ...cfz 6417
This theorem is referenced by:  elfz3nn0t 6447  fznn0sub2t 6449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-n 5887  df-n0 6061  df-z 6097  df-fz 6418
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