Theorem elfz2t 6412

Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show M e. ZZ and N e. ZZ.

Assertion

Ref	Expression
elfz2t	|- (N e. A -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))

Proof of Theorem elfz2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1t 6410	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K e. (M...N) <-> (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N)))
2		ibar 642	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
3		3anass 778	. . . . . 6 |- ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) <-> (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
4	2, 3	syl5bb 531	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
5	1, 4	bitrd 527	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
6	5	adantl 388	. . 3 |- ((N e. A /\ (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
7		zex 6099	. . . . . . . 8 |- ZZ e. V
8	7	rabex 2720	. . . . . . 7 |- {k e. ZZ | (m <_ k /\ k <_ n)} e. V
9		df-fz 6408	. . . . . . 7 |- ... = {<.<.m, n>., z>. | ((m e. ZZ /\ n e. ZZ) /\ z = {k e. ZZ | (m <_ k /\ k <_ n)})}
10	8, 9	dmoprab2 4113	. . . . . 6 |- dom ... = (ZZ X. ZZ)
11	10	ndmoprgOLD 4035	. . . . 5 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (M...N) = (/))
12	11	eleq2d 1538	. . . 4 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (M...N) <-> K e. (/)))
13		noel 2280	. . . . . . 7 |- -. K e. (/)
14	13	pm2.21i 77	. . . . . 6 |- (K e. (/) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ))
15		pm3.26 319	. . . . . 6 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N))) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ))
16	14, 15	pm5.21ni 677	. . . . 5 |- (-. (M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K e. (/) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
17	16	adantl 388	. . . 4 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (/) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
18	12, 17	bitrd 527	. . 3 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
19	6, 18	pm2.61dan 477	. 2 |- (N e. A -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
20		df-3an 776	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ))
21	20	anbi1i 481	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
22		anass 439	. . 3 |- ((((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
23	21, 22	bitr2 174	. 2 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N))) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
24	19, 23	syl6bb 535	1 |- (N e. A -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   e. wcel 956  {crab 1645  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954   <_ cle 5275  ZZcz 5278  ...cfz 6407

This theorem is referenced by:  elfzlem 6413  elfzuzb 6416  elfzel2 6419  elfzel2g 6420  elfz2nn0t 6435  fznn0subt 6438  elfzp1 6450

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-enr 5146  df-nr 5147  df-0r 5151  df-c 5220  df-r 5224  df-neg 5338  df-z 6091  df-fz 6408

Copyright terms: Public domain