HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem elfzlem 6473
Description: Lemma for elfzel1 6481 and others.
Assertion
Ref Expression
elfzlem |- (K e. (M...N) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
Proof of Theorem elfzlem
StepHypRef Expression
1 elfz2t 6472 . . 3 |- (N e. V -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
2 3simpb 786 . . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (M e. ZZ /\ K e. ZZ))
32anim1i 334 . . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
41, 3syl6bi 214 . 2 |- (N e. V -> (K e. (M...N) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
5 oprprc2 3985 . . . 4 |- (-. N e. V -> (M...N) = (M...M))
65eleq2d 1541 . . 3 |- (-. N e. V -> (K e. (M...N) <-> K e. (M...M)))
7 brprc 2661 . . . . . 6 |- (-. N e. V -> (K <_ N <-> K <_ K))
87anbi2d 616 . . . . 5 |- (-. N e. V -> ((M <_ K /\ K <_ N) <-> (M <_ K /\ K <_ K)))
98anbi2d 616 . . . 4 |- (-. N e. V -> (((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ K))))
10 elfz2t 6472 . . . . . . . 8 |- (M e. V -> (K e. (M...M) <-> ((M e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ M))))
11 3simpb 786 . . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (M e. ZZ /\ K e. ZZ))
12 pm3.26 319 . . . . . . . . 9 |- ((M <_ K /\ K <_ M) -> M <_ K)
1311, 12anim12i 333 . . . . . . . 8 |- (((M e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ M)) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ M <_ K))
1410, 13syl6bi 214 . . . . . . 7 |- (M e. V -> (K e. (M...M) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ M <_ K)))
15 zret 6139 . . . . . . . . . . 11 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
16 leidt 5531 . . . . . . . . . . 11 |- (K e. RR -> K <_ K)
1715, 16syl 10 . . . . . . . . . 10 |- (K e. ZZ -> K <_ K)
18173ad2ant3 802 . . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> K <_ K)
1918adantr 389 . . . . . . . 8 |- (((M e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ M)) -> K <_ K)
2010, 19syl6bi 214 . . . . . . 7 |- (M e. V -> (K e. (M...M) -> K <_ K))
2114, 20jcad 600 . . . . . 6 |- (M e. V -> (K e. (M...M) -> (((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ M <_ K) /\ K <_ K)))
22 anass 439 . . . . . 6 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ M <_ K) /\ K <_ K) <-> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ K)))
2321, 22syl6ib 212 . . . . 5 |- (M e. V -> (K e. (M...M) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ K))))
24 relxp 3255 . . . . . . . . 9 |- Rel (ZZ X. ZZ)
25 zex 6144 . . . . . . . . . . . 12 |- ZZ e. V
2625rabex 2725 . . . . . . . . . . 11 |- {k e. ZZ | (m <_ k /\ k <_ n)} e. V
27 df-fz 6468 . . . . . . . . . . 11 |- ... = {<.<.m, n>., z>. | ((m e. ZZ /\ n e. ZZ) /\ z = {k e. ZZ | (m <_ k /\ k <_ n)})}
2826, 27dmoprab2 4123 . . . . . . . . . 10 |- dom ... = (ZZ X. ZZ)
2928releqi 3244 . . . . . . . . 9 |- (Rel dom ... <-> Rel (ZZ X. ZZ))
3024, 29mpbir 190 . . . . . . . 8 |- Rel dom ...
3130oprprc1 3984 . . . . . . 7 |- (-. M e. V -> (M...M) = (/))
3231pm2.24d 105 . . . . . 6 |- (-. M e. V -> (-. (M...M) = (/) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ K))))
33 n0i 2285 . . . . . 6 |- (K e. (M...M) -> -. (M...M) = (/))
3432, 33syl5 21 . . . . 5 |- (-. M e. V -> (K e. (M...M) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ K))))
3523, 34pm2.61i 126 . . . 4 |- (K e. (M...M) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ K)))
369, 35syl5bir 210 . . 3 |- (-. N e. V -> (K e. (M...M) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
376, 36sylbid 203 . 2 |- (-. N e. V -> (K e. (M...N) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
384, 37pm2.61i 126 1 |- (K e. (M...N) -> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  {crab 1648  Vcvv 1811  (/)c0 2280   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170  Rel wrel 3175  (class class class)co 3963  RRcr 5233   <_ cle 5295  ZZcz 5298  ...cfz 6467
This theorem is referenced by:  elfzel1 6481  elfzelz 6482  elfzle1 6483  elfzle2 6484  elfz1eqt 6492
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-z 6136  df-fz 6468
Copyright terms: Public domain