MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn Unicode version

Theorem elfznn 11012
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a natural number. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfznn  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )

Proof of Theorem elfznn
StepHypRef Expression
1 elfzelz 10991 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
2 elfzle1 10992 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  K )
3 elnnz1 10239 . 2  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
41, 2, 3sylanbrc 646 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   1c1 8924    <_ cle 9054   NNcn 9932   ZZcz 10214   ...cfz 10975
This theorem is referenced by:  elfz1end  11013  bcm1k  11533  bcpasc  11539  seqcoll  11639  isercolllem2  12386  isercolllem3  12387  isercoll  12388  sumeq2ii  12414  summolem3  12435  summolem2a  12436  fsum  12441  sumz  12443  fsumconst  12500  o1fsum  12519  binomlem  12535  incexc2  12545  climcndslem1  12556  climcndslem2  12557  climcnds  12558  harmonic  12565  arisum2  12567  trireciplem  12568  geo2sum  12577  geo2lim  12579  rpnnen2lem10  12750  fzm1ndvds  12828  phicl  13085  prmdivdiv  13103  pcfac  13195  pcbc  13196  prmreclem2  13212  prmreclem3  13213  prmreclem4  13214  prmreclem5  13215  prmreclem6  13216  prmrec  13217  4sqlem13  13252  vdwlem2  13277  vdwlem3  13278  vdwlem10  13285  vdwlem12  13287  mulgnnsubcl  14829  mulgnn0z  14837  mulgnndir  14839  oddvdsnn0  15109  odnncl  15110  gexcl3  15148  efgsres  15297  mulgnn0di  15375  gsumconst  15459  1stcfb  17429  1stckgenlem  17506  lebnumii  18862  ovollb2lem  19251  ovolunlem1a  19259  ovoliunlem1  19265  ovoliunlem2  19266  ovoliun2  19269  ovolscalem1  19276  ovolicc2lem4  19283  voliunlem1  19311  volsup  19317  ioombl1lem4  19322  uniioovol  19338  uniioombllem3a  19343  uniioombllem3  19344  uniioombllem4  19345  uniioombllem5  19346  uniioombllem6  19347  dvply1  20068  aaliou3lem5  20131  aaliou3lem6  20132  dvtaylp  20153  taylthlem2  20157  pserdvlem2  20211  logfac  20362  atantayl  20644  birthdaylem2  20658  emcllem1  20701  emcllem2  20702  emcllem3  20703  emcllem5  20705  emcllem7  20707  harmoniclbnd  20714  harmonicubnd  20715  harmonicbnd4  20716  fsumharmonic  20717  wilthlem1  20718  wilthlem2  20719  ftalem5  20726  basellem1  20730  basellem8  20737  chpf  20773  efchpcl  20775  chpp1  20805  chpwordi  20807  prmorcht  20828  dvdsflf1o  20839  dvdsflsumcom  20840  chtlepsi  20857  fsumvma2  20865  pclogsum  20866  vmasum  20867  logfac2  20868  chpval2  20869  chpchtsum  20870  logfaclbnd  20873  logexprlim  20876  logfacrlim2  20877  pcbcctr  20927  bposlem1  20935  bposlem2  20936  lgscllem  20954  lgsval2lem  20957  lgsval4a  20969  lgsneg  20970  lgsdir  20981  lgsdilem2  20982  lgsdi  20983  lgsne0  20984  lgsqrlem2  20993  lgseisenlem1  21000  lgseisenlem2  21001  lgseisenlem3  21002  lgseisenlem4  21003  lgseisen  21004  lgsquadlem1  21005  lgsquadlem2  21006  lgsquadlem3  21007  chebbnd1lem1  21030  vmadivsum  21043  vmadivsumb  21044  rplogsumlem2  21046  dchrisum0lem1a  21047  rpvmasumlem  21048  dchrisumlem2  21051  dchrmusum2  21055  dchrvmasumlem1  21056  dchrvmasum2lem  21057  dchrvmasum2if  21058  dchrvmasumlem2  21059  dchrvmasumlem3  21060  dchrvmasumiflem1  21062  dchrvmasumiflem2  21063  dchrisum0fno1  21072  rpvmasum2  21073  dchrisum0re  21074  dchrisum0lem1b  21076  dchrisum0lem1  21077  dchrisum0lem2a  21078  dchrisum0lem2  21079  dchrisum0lem3  21080  dchrisum0  21081  dchrmusumlem  21083  dchrvmasumlem  21084  rplogsum  21088  mudivsum  21091  mulogsumlem  21092  mulogsum  21093  mulog2sumlem1  21095  mulog2sumlem2  21096  mulog2sumlem3  21097  vmalogdivsum2  21099  vmalogdivsum  21100  2vmadivsumlem  21101  log2sumbnd  21105  selberglem1  21106  selberglem2  21107  selberglem3  21108  selberg  21109  selbergb  21110  selberg2lem  21111  selberg2  21112  selberg2b  21113  chpdifbndlem1  21114  logdivbnd  21117  selberg3lem1  21118  selberg3lem2  21119  selberg3  21120  selberg4lem1  21121  selberg4  21122  pntrsumo1  21126  pntrsumbnd  21127  pntrsumbnd2  21128  selbergr  21129  selberg3r  21130  selberg4r  21131  selberg34r  21132  pntsf  21134  pntsval2  21137  pntrlog2bndlem1  21138  pntrlog2bndlem2  21139  pntrlog2bndlem3  21140  pntrlog2bndlem4  21141  pntrlog2bndlem5  21142  pntrlog2bndlem6  21144  pntrlog2bnd  21145  pntpbnd2  21148  pntlemf  21166  pntlemk  21167  pntlemo  21168  iseupa  21535  eupares  21545  eupap1  21546  dipcl  22059  dipcn  22067  sspival  22085  fzossnn  23988  esumpcvgval  24264  esumpmono  24265  esumcvg  24272  ballotlemfc0  24529  ballotlemfcc  24530  ballotlemimin  24542  ballotlemic  24543  ballotlem1c  24544  ballotlemsel1i  24549  ballotlemsf1o  24550  lgamgulm2  24599  lgamcvglem  24603  lgamcvg2  24618  gamcvg2lem  24622  erdszelem4  24659  erdszelem8  24663  erdsze2lem2  24669  cvmliftlem2  24752  cvmliftlem6  24756  cvmliftlem8  24758  cvmliftlem9  24759  cvmliftlem10  24760  prodeq2ii  25018  prodmolem3  25038  prodmolem2a  25039  fprod  25046  prod1  25049  fprodfac  25075  fprodconst  25081  risefallfac  25108  risefacfac  25117  fallfacfac  25118  faclim  25123  bpolydiflem  25814  eldioph3b  26514  diophin  26522  diophun  26523  eldiophss  26524  fz1ssnn  26562  irrapxlem4  26579  stoweidlem34  27451  wallispilem4  27485  wallispi  27487  wallispi2lem1  27488  wallispi2  27490  stirlinglem5  27495  stirlinglem7  27497  stirlinglem10  27500  stirlinglem12  27502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976
  Copyright terms: Public domain W3C validator