MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn Unicode version

Theorem elfznn 10821
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a natural number. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfznn  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )

Proof of Theorem elfznn
StepHypRef Expression
1 elfzelz 10800 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
2 elfzle1 10801 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  K )
3 elnnz1 10051 . 2  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
41, 2, 3sylanbrc 645 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1686   class class class wbr 4025  (class class class)co 5860   1c1 8740    <_ cle 8870   NNcn 9748   ZZcz 10026   ...cfz 10784
This theorem is referenced by:  elfz1end  10822  bcm1k  11329  bcpasc  11335  seqcoll  11403  isercolllem2  12141  isercolllem3  12142  isercoll  12143  sumeq2ii  12168  summolem3  12189  summolem2a  12190  fsum  12195  sumz  12197  fsumconst  12254  o1fsum  12273  binomlem  12289  incexc2  12299  climcndslem1  12310  climcndslem2  12311  climcnds  12312  harmonic  12319  arisum2  12321  trireciplem  12322  geo2sum  12331  geo2lim  12333  rpnnen2lem10  12504  fzm1ndvds  12582  phicl  12839  prmdivdiv  12857  pcfac  12949  pcbc  12950  prmreclem2  12966  prmreclem3  12967  prmreclem4  12968  prmreclem5  12969  prmreclem6  12970  prmrec  12971  4sqlem13  13006  vdwlem2  13031  vdwlem3  13032  vdwlem10  13039  vdwlem12  13041  mulgnnsubcl  14581  mulgnn0z  14589  mulgnndir  14591  oddvdsnn0  14861  odnncl  14862  gexcl3  14900  efgsres  15049  mulgnn0di  15127  gsumconst  15211  1stcfb  17173  1stckgenlem  17250  lebnumii  18466  ovollb2lem  18849  ovolunlem1a  18857  ovoliunlem1  18863  ovoliunlem2  18864  ovoliun2  18867  ovolscalem1  18874  ovolicc2lem4  18881  voliunlem1  18909  volsup  18915  ioombl1lem4  18920  uniioovol  18936  uniioombllem3a  18941  uniioombllem3  18942  uniioombllem4  18943  uniioombllem5  18944  uniioombllem6  18945  dvply1  19666  aaliou3lem5  19729  aaliou3lem6  19730  dvtaylp  19751  taylthlem2  19755  pserdvlem2  19806  logfac  19956  atantayl  20235  birthdaylem2  20249  emcllem1  20291  emcllem2  20292  emcllem3  20293  emcllem5  20295  emcllem7  20297  harmoniclbnd  20304  harmonicubnd  20305  harmonicbnd4  20306  fsumharmonic  20307  wilthlem1  20308  wilthlem2  20309  ftalem5  20316  basellem1  20320  basellem8  20327  chpf  20363  efchpcl  20365  chpp1  20395  chpwordi  20397  prmorcht  20418  dvdsflf1o  20429  dvdsflsumcom  20430  chtlepsi  20447  fsumvma2  20455  pclogsum  20456  vmasum  20457  logfac2  20458  chpval2  20459  chpchtsum  20460  logfaclbnd  20463  logexprlim  20466  logfacrlim2  20467  pcbcctr  20517  bposlem1  20525  bposlem2  20526  lgscllem  20544  lgsval2lem  20547  lgsval4a  20559  lgsneg  20560  lgsdir  20571  lgsdilem2  20572  lgsdi  20573  lgsne0  20574  lgsqrlem2  20583  lgseisenlem1  20590  lgseisenlem2  20591  lgseisenlem3  20592  lgseisenlem4  20593  lgseisen  20594  lgsquadlem1  20595  lgsquadlem2  20596  lgsquadlem3  20597  chebbnd1lem1  20620  vmadivsum  20633  vmadivsumb  20634  rplogsumlem2  20636  dchrisum0lem1a  20637  rpvmasumlem  20638  dchrisumlem2  20641  dchrmusum2  20645  dchrvmasumlem1  20646  dchrvmasum2lem  20647  dchrvmasum2if  20648  dchrvmasumlem2  20649  dchrvmasumlem3  20650  dchrvmasumiflem1  20652  dchrvmasumiflem2  20653  dchrisum0fno1  20662  rpvmasum2  20663  dchrisum0re  20664  dchrisum0lem1b  20666  dchrisum0lem1  20667  dchrisum0lem2a  20668  dchrisum0lem2  20669  dchrisum0lem3  20670  dchrisum0  20671  dchrmusumlem  20673  dchrvmasumlem  20674  rplogsum  20678  mudivsum  20681  mulogsumlem  20682  mulogsum  20683  mulog2sumlem1  20685  mulog2sumlem2  20686  mulog2sumlem3  20687  vmalogdivsum2  20689  vmalogdivsum  20690  2vmadivsumlem  20691  log2sumbnd  20695  selberglem1  20696  selberglem2  20697  selberglem3  20698  selberg  20699  selbergb  20700  selberg2lem  20701  selberg2  20702  selberg2b  20703  chpdifbndlem1  20704  logdivbnd  20707  selberg3lem1  20708  selberg3lem2  20709  selberg3  20710  selberg4lem1  20711  selberg4  20712  pntrsumo1  20716  pntrsumbnd  20717  pntrsumbnd2  20718  selbergr  20719  selberg3r  20720  selberg4r  20721  selberg34r  20722  pntsf  20724  pntsval2  20727  pntrlog2bndlem1  20728  pntrlog2bndlem2  20729  pntrlog2bndlem3  20730  pntrlog2bndlem4  20731  pntrlog2bndlem5  20732  pntrlog2bndlem6  20734  pntrlog2bnd  20735  pntpbnd2  20738  pntlemf  20756  pntlemk  20757  pntlemo  20758  dipcl  21290  dipcn  21298  sspival  21316  ballotlemfc0  23053  ballotlemfcc  23054  ballotlemimin  23066  ballotlemic  23067  ballotlem1c  23068  ballotlemsgt1  23071  ballotlemsel1i  23073  ballotlemsf1o  23074  fzossnn  23280  esumpcvgval  23448  esumpmono  23449  esumcvg  23456  erdszelem4  23727  erdszelem8  23731  erdsze2lem2  23737  cvmliftlem2  23819  cvmliftlem6  23823  cvmliftlem8  23825  cvmliftlem9  23826  cvmliftlem10  23827  iseupa  23883  eupares  23901  eupap1  23902  bpolydiflem  24791  eldioph3b  26855  diophin  26863  diophun  26864  eldiophss  26865  fz1ssnn  26903  irrapxlem4  26921  stoweidlem34  27794  wallispilem4  27828  wallispi  27830  wallispi2lem1  27831  wallispi2  27833  stirlinglem5  27838  stirlinglem10  27843  stirlinglem12  27845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-z 10027  df-uz 10233  df-fz 10785
  Copyright terms: Public domain W3C validator