MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn0 Structured version   Unicode version

Theorem elfznn0 11083
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfznn0  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )

Proof of Theorem elfznn0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11082 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
21simp1bi 972 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   0cc0 8990    <_ cle 9121   NN0cn0 10221   ...cfz 11043
This theorem is referenced by:  bcrpcl  11599  bccmpl  11600  bcp1n  11607  bcp1nk  11608  bcval5  11609  permnn  11617  swrd0len  11769  splfv2a  11785  binomlem  12608  binom1p  12610  binom1dif  12612  bcxmas  12615  climcnds  12631  arisum  12639  arisum2  12640  geolim  12647  geo2sum  12650  mertenslem1  12661  mertenslem2  12662  mertens  12663  efcvgfsum  12688  efcj  12694  efaddlem  12695  effsumlt  12712  eirrlem  12803  fzo0dvdseq  12902  3dvds  12912  prmdiveq  13175  pcbc  13269  vdwapf  13340  vdwlem2  13350  vdwlem6  13354  vdwlem8  13356  efgcpbllemb  15387  psrbaglefi  16437  coe1mul2lem2  16661  coe1mul2  16662  coe1tmmul2  16668  coe1tmmul  16669  mbfi1fseqlem3  19609  mbfi1fseqlem4  19610  itg0  19671  itgz  19672  itgcl  19675  iblabsr  19721  iblmulc2  19722  itgsplit  19727  dvn2bss  19816  coe1mul3  20022  elply2  20115  plyf  20117  elplyd  20121  ply1termlem  20122  plyeq0lem  20129  plypf1  20131  plyaddlem1  20132  plymullem1  20133  plyaddlem  20134  plymullem  20135  coeeulem  20143  coeidlem  20156  coeid3  20159  plyco  20160  coeeq2  20161  dgreq  20163  coefv0  20166  coeaddlem  20167  coemullem  20168  coemulhi  20172  coemulc  20173  coe1termlem  20176  plycn  20179  plycjlem  20194  plycj  20195  plyrecj  20197  dvply1  20201  dvply2g  20202  vieta1lem2  20228  elqaalem2  20237  elqaalem3  20238  aareccl  20243  aannenlem1  20245  aalioulem1  20249  taylply2  20284  taylply  20285  dvtaylp  20286  dvntaylp0  20288  taylthlem2  20290  pserulm  20338  psercn2  20339  pserdvlem2  20344  abelthlem6  20352  abelthlem7  20354  abelthlem8  20355  advlogexp  20546  cxpeq  20641  log2tlbnd  20785  log2ublem2  20787  log2ub  20789  birthdaylem2  20791  birthdaylem3  20792  ftalem1  20855  ftalem5  20859  basellem2  20864  basellem3  20865  dvdsppwf1o  20971  musum  20976  sgmppw  20981  1sgmprm  20983  logexprlim  21009  mersenne  21011  lgseisenlem1  21133  dchrisum0flblem1  21202  pntpbnd2  21281  iseupa  21687  eupares  21697  bcm1n  24151  subfacval2  24873  subfaclim  24874  cvmliftlem7  24978  risefacval2  25326  fallfacval2  25327  fallfacval3  25328  risefaccllem  25329  fallfaccllem  25330  risefacp1  25345  fallfacp1  25346  fallfacfwd  25352  binomfallfaclem1  25355  binomfallfaclem2  25356  binomrisefac  25358  bcfallfac  25360  bpolylem  26094  bpolysum  26099  bpolydiflem  26100  fsumkthpow  26102  bpoly4  26105  iblmulc2nc  26270  jm2.22  27066  jm2.23  27067  hbt  27311  cnsrplycl  27349  psgnunilem2  27395  hashgcdlem  27493  2elfz3nn0  28112  fz0addcom  28113  2elfz2melfz  28117  fz0fzdiffz0  28119  fz0addge0  28120  swrd0fv  28192  swrdswrd0  28201  swrd0swrd0  28202  swrdccat3  28215  swrdccat3a  28217  swrdccat3blem  28218  cshwlen  28241  2cshw1lem3  28250  2cshw1  28251  2cshw2lem3  28254  2cshw2  28255  2cshw  28256  cshwssizelem2  28281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044
  Copyright terms: Public domain W3C validator