HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem elfzp1 6511
Description: Append an element to a finite set of sequential integers.
Assertion
Ref Expression
elfzp1 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...(N + 1)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1))))
Proof of Theorem elfzp1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 6425 . . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. ZZ)
21ad2antrr 406 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> M e. ZZ)
3 eluzelz 6424 . . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. ZZ)
43ad2antrr 406 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> N e. ZZ)
5 elfzelz 6483 . . . . . . . . 9 |- (K e. (M...(N + 1)) -> K e. ZZ)
65ad2antlr 407 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K e. ZZ)
72, 4, 63jca 821 . . . . . . 7 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ))
8 elfzle1 6484 . . . . . . . . 9 |- (K e. (M...(N + 1)) -> M <_ K)
98ad2antlr 407 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> M <_ K)
10 elfzle2 6485 . . . . . . . . . . . 12 |- (K e. (M...(N + 1)) -> K <_ (N + 1))
1110adantl 390 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> K <_ (N + 1))
1211anim1i 334 . . . . . . . . . 10 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (K <_ (N + 1) /\ (N + 1) =/= K))
13 ltlent 5534 . . . . . . . . . . 11 |- ((K e. RR /\ (N + 1) e. RR) -> (K < (N + 1) <-> (K <_ (N + 1) /\ (N + 1) =/= K)))
14 zret 6141 . . . . . . . . . . . . 13 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
155, 14syl 10 . . . . . . . . . . . 12 |- (K e. (M...(N + 1)) -> K e. RR)
1615ad2antlr 407 . . . . . . . . . . 11 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K e. RR)
17 zret 6141 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
18 peano2re 5448 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> (N + 1) e. RR)
193, 17, 183syl 20 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. (ZZ>` M) -> (N + 1) e. RR)
2019ad2antrr 406 . . . . . . . . . . 11 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (N + 1) e. RR)
2113, 16, 20sylanc 473 . . . . . . . . . 10 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (K < (N + 1) <-> (K <_ (N + 1) /\ (N + 1) =/= K)))
2212, 21mpbird 196 . . . . . . . . 9 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K < (N + 1))
23 zleltp1t 6184 . . . . . . . . . 10 |- ((K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K <_ N <-> K < (N + 1)))
2423, 6, 4sylanc 473 . . . . . . . . 9 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (K <_ N <-> K < (N + 1)))
2522, 24mpbird 196 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K <_ N)
269, 25jca 288 . . . . . . 7 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (M <_ K /\ K <_ N))
277, 26jca 288 . . . . . 6 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
2827ex 373 . . . . 5 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> ((N + 1) =/= K -> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
29 elfz2t 6473 . . . . . 6 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
3029adantr 391 . . . . 5 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
3128, 30sylibrd 204 . . . 4 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> ((N + 1) =/= K -> K e. (M...N)))
32 eqcom 1480 . . . . . 6 |- ((N + 1) = K <-> K = (N + 1))
3332orbi1i 256 . . . . 5 |- (((N + 1) = K \/ K e. (M...N)) <-> (K = (N + 1) \/ K e. (M...N)))
34 neor 1641 . . . . 5 |- (((N + 1) = K \/ K e. (M...N)) <-> ((N + 1) =/= K -> K e. (M...N)))
35 orcom 246 . . . . 5 |- ((K = (N + 1) \/ K e. (M...N)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1)))
3633, 34, 353bitr3 181 . . . 4 |- (((N + 1) =/= K -> K e. (M...N)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1)))
3731, 36sylib 198 . . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1)))
3837ex 373 . 2 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...(N + 1)) -> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1))))
39 fzssp1t 6507 . . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M...N) (_ (M...(N + 1)))
4039, 1, 3sylanc 473 . . . 4 |- (N e. (ZZ>` M) -> (M...N) (_ (M...(N + 1)))
4140sseld 2070 . . 3 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...N) -> K e. (M...(N + 1))))
42 eleq1 1537 . . . 4 |- (K = (N + 1) -> (K e. (M...(N + 1)) <-> (N + 1) e. (M...(N + 1))))
43 peano2uz 6448 . . . . 5 |- (N e. (ZZ>` M) -> (N + 1) e. (ZZ>` M))
44 eluzfz2t 6490 . . . . 5 |- ((N + 1) e. (ZZ>` M) -> (N + 1) e. (M...(N + 1)))
4543, 44syl 10 . . . 4 |- (N e. (ZZ>` M) -> (N + 1) e. (M...(N + 1)))
4642, 45syl5cbir 211 . . 3 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K = (N + 1) -> K e. (M...(N + 1))))
4741, 46jaod 426 . 2 |- (N e. (ZZ>` M) -> ((K e. (M...N) \/ K = (N + 1)) -> K e. (M...(N + 1))))
4838, 47impbid 518 1 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...(N + 1)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  1c1 5247   + caddc 5249   <_ cle 5307  ZZcz 5310   < clt 5498  ZZ>cuz 6418  ...cfz 6468
This theorem is referenced by:  fsequb 6524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-uz 6419  df-fz 6469
Copyright terms: Public domain