MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz3 Structured version   Unicode version

Theorem elfzuz3 11056
Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)

Proof of Theorem elfzuz3
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11053 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simprbi 451 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043
This theorem is referenced by:  elfzel2  11057  elfzle2  11061  peano2fzr  11069  fzsplit2  11076  fzsplit  11077  fznn0sub  11085  fzopth  11089  fzss1  11091  fzss2  11092  fzp1elp1  11100  fzosplit  11166  fzoend  11187  fzofzp1b  11190  uzindi  11320  seqcl2  11341  seqfveq2  11345  monoord  11353  sermono  11355  seqsplit  11356  seqf1olem2  11363  seqid2  11369  seqhomo  11370  seqz  11371  bcval5  11609  seqcoll  11712  seqcoll2  11713  swrdval2  11767  swrd0val  11768  swrd0len  11769  spllen  11783  splfv2a  11785  fsum0diag2  12566  climcndslem2  12630  pcbc  13269  vdwlem2  13350  vdwlem5  13353  vdwlem6  13354  vdwlem8  13356  efgsres  15370  efgredleme  15375  efgcpbllemb  15387  imasdsf1olem  18403  volsup  19450  dvn2bss  19816  dvtaylp  20286  wilth  20854  ftalem1  20855  ppisval2  20887  dvdsppwf1o  20971  logfaclbnd  21006  bposlem6  21073  eupares  21697  fzsplit3  24150  ballotlemsima  24773  ballotlemfrc  24784  ballotlemfrceq  24786  erdszelem7  24883  erdszelem8  24884  prodfn0  25222  predfz  25478  mettrifi  26463  psgnunilem5  27394  fmulcl  27687  fmul01lt1lem2  27691  stoweidlem11  27736  stoweidlem17  27742  ssfz12  28104  swrdccatin2lem1  28206  2cshw2lem2  28253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-neg 9294  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044
  Copyright terms: Public domain W3C validator