MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2 Unicode version

Theorem elicc2 10868
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )

Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 9024 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9024 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 elicc1 10853 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
5 mnfxr 10607 . . . . . . . 8  |-  -oo  e.  RR*
65a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  -oo  e.  RR* )
71ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  A  e.  RR* )
8 simpr1 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  e.  RR* )
9 mnflt 10615 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  -oo  <  A )
109ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  -oo  <  A )
11 simpr2 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  A  <_  C )
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 10644 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  -oo  <  C )
132ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  B  e.  RR* )
14 pnfxr 10606 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
1514a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  +oo  e.  RR* )
16 simpr3 964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  <_  B )
17 ltpnf 10614 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <  +oo )
1817ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  B  <  +oo )
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 10643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  <  +oo )
20 xrrebnd 10649 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR*  ->  ( C  e.  RR  <->  (  -oo  <  C  /\  C  <  +oo ) ) )
218, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  ( C  e.  RR  <->  (  -oo  <  C  /\  C  <  +oo ) ) )
2212, 19, 21mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  e.  RR )
2322, 11, 163jca 1133 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) )
2423ex 423 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  ->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
25 rexr 9024 . . . 4  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
26253anim1i 1139 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) )
2724, 26impbid1 194 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
284, 27bitrd 244 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    e. wcel 1715   class class class wbr 4125  (class class class)co 5981   RRcr 8883    +oocpnf 9011    -oocmnf 9012   RR*cxr 9013    < clt 9014    <_ cle 9015   [,]cicc 10812
This theorem is referenced by:  elicc2i  10869  iccssre  10884  iccsupr  10889  iccneg  10910  iccsplit  10921  iccshftr  10922  iccshftl  10924  iccdil  10926  icccntr  10928  iccf1o  10931  icco1  12221  iccntr  18540  icccmplem1  18541  icccmplem2  18542  icccmplem3  18543  reconnlem1  18545  reconnlem2  18546  cnmpt2pc  18641  icoopnst  18652  iocopnst  18653  cnheiborlem  18667  ivthlem2  19027  ivthlem3  19028  ivthicc  19033  evthicc2  19035  ovolficc  19043  ovolicc1  19090  ovolicc2lem2  19092  ovolicc2lem5  19095  ovolicopnf  19098  dyadmaxlem  19167  opnmbllem  19171  volsup2  19175  volcn  19176  mbfi1fseqlem6  19290  itgspliticc  19406  itgsplitioo  19407  ditgcl  19423  ditgswap  19424  ditgsplitlem  19425  ditgsplit  19426  dvlip  19555  dvlip2  19557  dveq0  19562  dvgt0lem1  19564  dvivthlem1  19570  dvne0  19573  dvcnvrelem1  19579  dvcnvrelem2  19580  dvcnvre  19581  dvfsumlem2  19589  ftc1lem1  19597  ftc1lem2  19598  ftc1a  19599  ftc1lem4  19601  ftc2  19606  ftc2ditglem  19607  itgsubstlem  19610  pserulm  20016  loglesqr  20320  log2tlbnd  20463  ppisval  20564  chtleppi  20672  fsumvma2  20676  chpchtsum  20681  chpub  20682  rplogsumlem2  20857  chpdifbndlem1  20925  pntibndlem2a  20962  pntibndlem2  20963  pntlemj  20975  pntlem3  20981  pntleml  20983  elunitrn  23771  elunitge0  23773  unitdivcld  23775  xrge0iifhom  23799  lgamgulmlem2  24383  rescon  24501  cvmliftlem10  24549  areacirclem4  25787  areacirclem5  25789  areacirc  25791  isbnd3  26099  isbnd3b  26100  prdsbnd  26108  iccbnd  26155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-icc 10816
  Copyright terms: Public domain W3C validator