Theorem elicc2t 6393

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elicc2t	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)))

Proof of Theorem elicc2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1t 6384	. . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B)))
2		rexrt 5511	. . . 4 |- (A e. RR -> A e. RR*)
3		rexrt 5511	. . . 4 |- (B e. RR -> B e. RR*)
4	1, 2, 3	syl2an 456	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B)))
5		mnfltt 5555	. . . . . . . . . 10 |- (A e. RR -> -oo < A)
6	5	ad2antrr 406	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> -oo < A)
7		mnfxr 5506	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
8		xrltletrt 5575	. . . . . . . . . . . 12 |- (( -oo e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
9	7, 8	mp3an1 905	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR* /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
10	9, 2	sylan 450	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
11	10	adantlr 395	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
12	6, 11	mpand 703	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (A <_ C -> -oo < C))
13		ltpnft 5554	. . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> B < +oo)
14	13	ad2antlr 407	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> B < +oo)
15		pnfxr 5505	. . . . . . . . . . . . 13 |- +oo e. RR*
16		xrlelttrt 5574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
17	15, 16	mp3an3 907	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. RR* /\ B e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
18	17, 3	sylan2 453	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. RR* /\ B e. RR) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
19	18	ancoms 438	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. RR /\ C e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
20	19	adantll 394	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
21	14, 20	mpan2d 704	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (C <_ B -> C < +oo))
22	12, 21	anim12d 560	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((A <_ C /\ C <_ B) -> ( -oo < C /\ C < +oo)))
23		xrrebndt 5580	. . . . . . . 8 |- (C e. RR* -> (C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo)))
24	23	adantl 390	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo)))
25	22, 24	sylibrd 204	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((A <_ C /\ C <_ B) -> C e. RR))
26	25	expimpd 375	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)) -> C e. RR))
27		pm3.27 323	. . . . . 6 |- ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)) -> (A <_ C /\ C <_ B))
28	27	a1i 8	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)) -> (A <_ C /\ C <_ B)))
29	26, 28	jcad 602	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)) -> (C e. RR /\ (A <_ C /\ C <_ B))))
30		3anass 781	. . . 4 |- ((C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B) <-> (C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)))
31		3anass 781	. . . 4 |- ((C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) <-> (C e. RR /\ (A <_ C /\ C <_ B)))
32	29, 30, 31	3imtr4g 555	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B) -> (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)))
33	4, 32	sylbid 203	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) -> (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)))
34		rexrt 5511	. . . . 5 |- (C e. RR -> C e. RR*)
35	34	anim1i 334	. . . 4 |- ((C e. RR /\ (A <_ C /\ C <_ B)) -> (C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)))
36	35, 31, 30	3imtr4 219	. . 3 |- ((C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) -> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B))
37	4, 36	syl5bir 210	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) -> C e. (A[,]B)))
38	33, 37	impbid 518	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  RRcr 5245   <_ cle 5307   +oocpnf 5495   -oocmnf 5496  RR*cxr 5497   < clt 5498  [,]cicc 6361

This theorem is referenced by:  iccssret 6397  iccsupr 6399  lbicc2t 6405  ubicc2t 6406  iccnegt 6408  ivthlem5 7285  ivthlem6 7286  ivthlem7 7287  ivthlem8 7288  reeff1olem1 7424  pilem1 8666

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-icc 6365

Copyright terms: Public domain